拟阵的一个小性质

假设有一个拟阵\(M=(S,I)\)，它的最大权独立集为\(U\)。现在往\(S\)中加入一个元素\(x\)，并且在\(I\)中加入一些包含\(x\)的集合，得到拟阵\(M'=(S',I')\)。那么\(M'\)的最大独立集\(U'\)要么是\(U\cup x\)，要么是加入\(x\)后去掉一个权值最小的元素，满足去掉这个元素以后剩下的是独立集。

证明：如果\(U\cup x\)是独立集，显然成立。

否则加入\(x\)后会删除一个在\(U\)中的元素\(y\)。假设因为删除\(y\)的影响，一个原本不在\(U\)中的\(z\)加入了\(U'\)，设原本\(U\)中权值\(\ge val_z\)的元素构成的集合除掉\(x,y,z\)外是\(Q\)。那么\(Q\cup x \cup z\)是独立集，\(Q \cup y\)也是独立集，根据交换性质\(x,z\)中至少有一个元素可以加入\(Q\cup y\)。如果这个元素是\(x\)，那么\(Q\cup x\cup y\)是独立集，显然不可能删除\(y\)，产生矛盾。否则这个元素是\(z\)，说明\(Q\cup y \cup z\)是独立集，根据贪心算法的过程，这与\(z\)不在\(U\)中矛盾。

有了这个性质可以证明一些东西，比如结合二分图拟阵可以证明昨天T3的结论。