欧几里德与扩展欧几里德算法

欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
证明：
a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
　　假设d是a,b的一个公约数，则有
　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
　　因此d是(b,a mod b)的公约数
　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
　　d | b , d |r ，但是a = kb +r
　　因此d也是(a,b)的公约数
　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里德算法
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
证明：设 a>b。
　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
　　2，ab!=0 时
　　设 ax1+by1=gcd(a,b);
　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)b)y2=ay2+bx2-(a/b)by2;
　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
　 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}