球面，柱面坐标系下的散度与旋度

转载自：原文链接

中英文版权所有

1.  斜面坐标

斜面坐标是一种三维的欧几里合坐标，空间中每一个点的局域坐标都可以被1对1的转化成简单的直角坐标，因此其任意一点处，局域的坐标基矢之间都是垂直的。斜面坐标系是法国数学家Láme 命名，因为在此坐标系下，各坐标独立移动形成的面是曲面。物理中最重要的三种斜面坐标分别是：直角坐标系，球面坐标系和柱面坐标系。他们分别应用于不同种类的对称性问题中，他们的解是不同对称性条件下的基。

在任意的斜面坐标系中，空间最基本的几何元素，线段元，都可以被如下表征：

上式中，x1,x2,x3就是局域定义的垂直基矢，而h1,h2,h3则是长度量纲系数。一个简单的例子是直角坐标下，基矢的选择就是位移长度本身，因此h1,h2,h3均为1。而如果在球面坐标下，除了径向位移r是长度本身以外，极角theta和方位角phi 本身并不是长度，而是角度。因此线段元系数h2, h3不是1, 而是弧长度系数 r 和 r*sin(theta)。

柱面坐标下的线段元表示留作练习。

2.  散度和旋度

2.1 散度

散度是一种被定义为测量矢量场某点领域里单位体积内场线出入的多少。如果场线净出，则该点存在源；如果场线净入，则存在漏（sink）。为了这样的度量目的，我们定义某点的散度为如上式，用第二类面积分来度量。

这里，da是带方向的，包围体积dV的面积元，方向和面积垂直，指向体积外侧，用于区别场线流动的方向和强度。

不难得出斜面坐标系下某点处体积元的表征。对于定义中的面积分，我们将其投影到三个坐标基方向中，对各个分量进行计算。相对面的场线净出入可以由上式得出。我们选择面为和x1-x2平行的一对。我们只要计算场F在x3上的投影，再乘以面面积(h1h2)dx1dx2，最后对其做对x3方向的偏微分再乘以h3dx3，就能知道前后两面的场流出入的差值了。正方向的定义已经包含在微分的减法符号之中。在计算过程中，我们注意h1,h2,h3这些长度量纲系数的引入，这些系数本身也是坐标的函数，因此对他们的微分要倍加小心。正是他们的存在使得斜面坐标系的散度表达式并不简单。

就用这个办法，我们不难得出散度在斜面坐标系下的一般表示。此外，再结合显而易见的梯度的定义，我们就能得到拉普拉斯算子在斜面坐标下的表示了。拉普拉斯算子在计算量子力学以及电磁场理论中都有重要应用：

作为一个例子，我们计算一下球面坐标下的拉普拉斯算子（得到结果如上）。其后的角度微分项在薛定锷方称中，代表转动角动能。

2.2 旋度

和散度一样，旋度也是一种被定义来度量矢量场的一种计算。旋度用来测量矢量在某点领域内的一个单位面积的边界上所做转的“圈数”。因此他用第二类线积分来衡量。其定义如上式。

为了确定三维空间中单位面积的朝向，我们需要给每一个面积元指定一个垂直于其表面的方向。而且，场在面积边界旋转的方向和面积朝向满足右手法则规定的正负关系。

我们把任意的面积按照朝向分解投影到基矢方向上，然后对每一个朝向做旋度计算。这个计算过程和散度十分相似，但需要注意，偏微分的符号有时候并不和规定的正方向一致，因此我们会需要引入一个符号。我们只需要小心核对右手定则就能得到正确的答案。将所有分量按照方向矢量相加，我们就得到了旋度的一般表达式。和散度一样，我们要注意h1, h2, h3这些量纲系数的微分和位置。

如果我们注意到表达式中正负号和levi-civita的关系，我们就能简化上面的旋度算式，让她变的更象一个叉乘：

这样一个旋度的表达式就写成了和叉乘一样的行列式的表达式了。这也是为什么旋度使用叉乘符号的一个原因。实际上散度使用点乘的原因也是如此。

最后，我们在球面坐标系下演练我们的旋度公式。注意表达式是相当复杂的。

本来，这篇日志打算复习一下比较重要的矢量微积分中的等式，例如bac-cab等式和函数乘法后的散度，旋度，以及散度积分的推广，旋度积分等。因为本人时间有限，留给大家去查阅jackson电动力学的前页。此外，本文有一些插图，时间和能力原因，也没有做成。希望读者能发挥想象，自己看懂。

2012年6月

Bo