一、静矩、形心及其相互关系

1、静矩

静矩

2、形心：图形几何形状的中心

形心

3、静矩和形心的关系

二、惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径

惯性矩

惯性半径

惯性矩与极惯性矩

对于圆截面：；

圆截面

对于圆环：

矩形

三、惯性矩与惯性积的移轴定理

移轴定理：图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。

在，轴通过形心的条件下：

为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，即。

四、惯性矩与惯性积的转轴定理

转轴定理：研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

转轴定理及推导

图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变：

五、主轴与形心主轴、主矩与形心主矩

主轴：如果图形对于过一点的一对坐标轴的惯性积为零，则称这一对坐标轴为过这一点的主轴。

主惯性矩：图形对主轴的惯性矩。主惯性矩是某一点惯性矩的极大值和极小值。

设通过O点的主轴：

，值为。

主轴

通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。

有对称轴截面的惯性主轴：对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。

六、组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法

第三章：弹性杆件上的正应力分析(2)

一、梁弯曲的若干定义与概念

对称面、主轴平面、平面弯曲、纯弯曲、横向弯曲。

平面弯曲：所有外力和力偶与弯曲的梁在同一平面内。

纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩一个内力分量（没有剪力）。

横向弯曲：横截面上同时产生剪力和弯矩。

二、纯弯曲时梁横截面上的正应力分析

1、应用平面假定确定应变分布

（1）梁的中性层和横截面的中性轴。

（2）梁弯曲时的平面假定：变形后，横截面仍保持为平面，且垂直于变形后的轴线，只是绕横截面内某一轴旋转了一个角度。

（3）沿梁横截面高度方向分布正应变表达式

2、应用胡克定律确定横截面上的正应力分布

其中为曲率半径。

3、利用静力方程确定待定常数

4、利用静力学方程确定中性轴位置

截面对于某一轴的静矩如果为0，该轴通过截面的形心。

中性轴通过截面形心，并且垂直于形心主轴。有两根对称轴的截面，两根对称轴的交点就是截面的形心。

5、最大正应力公式与弯曲截面模量

，其中称为弯曲截面系数。

常见的弯曲截面系数：

矩形：，圆截面。

注意：某一横截面上的最大正应力不一定就是梁内的最大正应力。应该首先判断可能产生最大正应力的危险截面，然后比较所有危险截面上的最大正应力。

6、梁弯曲后轴线曲率计算公式

，其中称为梁的弯曲刚度。

三、斜弯曲时梁横截面上的正应力

斜弯曲：外力未作用在主轴平面或者多个外力未作用于同一个主轴平面。

杆件横截面的两个主轴平面内都有弯矩作用时的弯曲正应力公式：

材料力学第三章（下）