牛津通识读本：数学

对于普通人，即使他们不愿接受严肃静穆的数学体系，仅仅依靠一些数学常识，也足以培养抽象的思维方法。

模型

科学和数学的结合能让我们预测事物的发展趋势。通常来说，科学理论并不是直接应用在现实世界中，而是应用在数学模型上。模型是所要研究的那部分世界的一种虚构的，简化的版本。对于一种给定的物理情形，有多种方法将其模型化。我们通常需要结合切近的经验与深入的理论考量来决定，哪种模型更有可能向我们透露世界的本真。在设计模型的时候，我们会忽视所考察的现象中尽可能多的信息，从中仅仅抽象出那些对理解其行为必不可少的特征。

数与抽象

数的概念与算术运算紧密相连。一个数系由数字和算术规则共同构成。数字可以看作是计数符号。对于数，抽象的观点很重要，只要数系逻辑自洽，那么数系就是合理的。在数的历史上，我们凭借抽象的思维添加零，分数，负数，无理数，复数等等来扩充数系。尽管人们可能不太能接受新的数的出现，但在实践中，关于数和其他数学对象，数学家的感受并不重要，重要的只是它们所遵守的规则。数学史证明，一种的数学构造若是充分自然的，则基本上必能作为模型找到它的用途。抽象方法可以使我们将熟悉的概念扩展到不熟悉的地方，并赋予新的意义。对于数学初学者来说，试图具体地理解数会让你感到困惑，但当你应用抽象方法学习使用规则时，概念的神秘性就消失了。

证明

数学家很少会对“似乎”这样的用语感到满意。他们需要的是证明，也就是能够扫清一条论断中所有疑点的论证。反证法，通过推出矛盾来证明。数学归纳法，证明无穷序列。数学论证中的每一步都可以分解成更小的，小的步奏可以进一步分解。但这样的过程最终是终止的。最详细的论证是，以普遍接受的公理开始，仅通过最基本的逻辑原则一步步推进，最终得到想要的结论。但其实，没有哪个数学家愿意费时间这么干。一般来说，数学论文由专业的人员审核，阅读。因此，数学家们的证明过程，在不影响理解的情况下，可以省略一些熟悉的细节。

对于公理系统，重要的不是其真实性，而是自洽性和有用性。数学证明实际上是通过特定前提，得到特定的结论。这些前提假设是否正确则是无相关的哲学问题。数学证明留下来的一个重要教训是，如果不去小心地证明你所说的话，那你就有说错的危险。但如果我们用一个积极的角度来看，如果确实努力去证明一个陈述，那你将能以全然不同而且更有意思的方式理解它。此外，在较高等的数学中，其中有一些定理看上去非常显然，简直无须证明。但实际上，只有你能证明这些定理，它们才是显然的。

极限和无穷

形式化的数学证明思想，即从少数几条公理出发演绎推导出许多复杂的定理，可以追溯到欧几里德。欧几里得只用了五条公理就建立了几何学的主要体系，然而直到了二十世纪，人们才认识到这样的思想可以应用到整个数学系统。其困难在于无穷的概念。

对于无穷小数，如何进行运算？加法和乘法都遇到了不少困难，必须加以修正，来契合数字系统。在这里，数学家认为0.99999……等于1。对于类似的无穷小数，解释为：有一种规则，对于任意n，它能够切实地给出x的前n位数字。一个无穷小数是一列有限小数的极限。

维度

高等数学的大部分内容高于三维。人们会感到奇怪，因为我们周围没有高于三维的东西。对于高维数学，最好用抽象角度来理解，只要思考的数学概念和体系是自洽的。通过笛卡尔坐标系的启示，我们用坐标语言来描述高维几何，并且可以合情合理将点面线体等概念扩展到高维。尽管高维空间很难图像化，通过训练，我们依然可以想象高维几何的图像。高维几何在经济学中很重要，我们可以把各种信息看作维度，通过分析，给出可行的空间区域。

几何

《几何原本》是最具影响的数学书，其公理化的思想可以让欧几里得比肩现代数学家。欧几里得只用了五条公理建造了全部的几何学，深深塑造了人们看待几何学的观点。欧几里得证明了三角形内角和是180度。在那个时候，很多人怀疑这个结论，甚至动手测量山峰的夹角。但其实，欧几里得的论证是对的，怀疑其结论的正确性，其实是怀疑公理的正确性。三角形内角和的结论依赖平行公理。平行公理比较复杂，涉及无穷的概念。人们尝试用其他四个公理证明这个公理，但其间都包含复杂的隐含假设。

将隐含假设明确表达出来的一个好办法是，是在不同的情形下检查同样的论证。在双曲几何下，其他四个公理成立，而平行公理不在成立。这告诉我们平行公理无法被其他四个公理证明。此外，我们已经了解我们所在时空是弯曲的，在这个时候，双曲几何可能是更加符合的空间数学模型。

估计和近似

大多数认为数学是一门精确的学科，其实，估计和近似在数学中处处都是。近似不是随意的，明确什么才算是较好的近似很重要。素数定理是一个好的近似的定理。首先对素数设计一种概率模型，接着，假设素数是随机产生的，然后求证有哪些论断是正确的，最后说明模型足够显示，能够保证你的猜测近似准确。

番外

很多人认为数学是依赖天赋的事情。天才是个糟糕的词汇，大家认为天才可以轻易做好别人很难做到的事情。然而，天才并不总是成功的数学家。很多数学家确实功绩斐然，但并不是无法解释。很多时候他们靠的是非凡的勇气，坚定和耐心，对他人完成的艰难工作的广泛了解，在正确时间专攻正确领域的运气和杰出的战略性眼光。数学并不与天赋矛盾，但并不总是伴随着天赋。