红黑树的删除操作详解

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红黑树的删除操作

 

1：节点命名约定

    D表示要被删除的节点。即：取 Delete 的首字母；

    P 表示父节点。即：取 Parent 的首字母；

    S表示兄弟姐妹节点。即：取 Sibling的首字母；

    U表示叔伯节点。即：取Uncle的首字母；

    G表示祖父节点。即：取 Grandfather的首字母；

    L表示左树。即：取Left的首字母；

    R表示右树。即：取Right的首字母；

    Nil表示叶子节点。即所谓的空节点；注意：红黑树中的叶子节点与其他树中所述说的叶子节点不是同一概念。而且红黑树中的叶子节点(即：Nil节点)永远是被定义为黑色的。

 

    下文的节点命名表示将会使用以上这些命名约定或它们的组合表示。因此，请先牢记这些命名约定。举例：

    DR表示要被删除的节点的右子树，即：右子节点；

    SL表示兄弟节点的左子树，即：左子节点；

    …

 

2：删除操作宏观分析

    在红黑树中，删除一个节点往大的说，只有以下四种情况。

    情况一：删除的节点的左、右子树都非空；

    情况二：删除的节点的左子树为空树，右子树非空；

    情况三：删除的节点的右子树为空树，左子树非空；

    情况四：删除的节点的左、右子树都为空树；

    其中情况一，可以按与其他二叉搜索树的删除方式一样处理，最终可以转换到后面的三种情况。具体为：找到(Old)D节点的直接后继节点(暂且称为X节点)，然后将X的值转移到D节点，最后将X节点作为真正要被删除掉的节点(即：(Real)D节点)。这样删除操作后，可以保证该树仍然为一棵二叉搜索树。但由于红黑树的定义(即：红黑树的性质)约定。这样删除(Real)D节点后，可能会破坏红黑树的性质。所以需要额外做一些调整处理，这便是下面将要详细讨论的内容。

    说明：下文中所提到的D，除非有特别说明，否则都将指的是(Real)D。

 

3：红黑树删除后平衡处理

    在具体分析之前，再次列出红黑树的定义：

    1)       任何一个节点非红即黑；

    2)       树的根为黑色；

    3)       叶子节点为黑色(注意：红黑树的所有叶子节点都指的是Nil节点)；

    4)       任何两个父子节点不可能同时为红色；

    5)       任何节点到其所有分枝叶子的简单路径上的黑节点个数相同；

 

    下面是几个图示说明：

    根据红黑树的定义，被删除的节点D(即：上文所述的(Real)D节点)不论如何都一定有一个“右子树”，只是该右子树要不为非空树(即：真正存在的节点，不为Nil节点)，要不就必为空树(即：D的两个子节点都为Nil)。下面称D的该右子节点(或称为右子树)为DR。

    a)       被删除的D节点为红色。这种情况，则与D相关的颜色以及结构关系必然只有如下一种情况(为什么只有这种情况，不明白的请看红黑树的性质)：

    分析：因为D为红色，所以P必为黑色，同时DR不可能为红色(否则违反性质4)。同时由于性质5，则DR必为Nil，否则就D树来说，经过DR与不经过DR的路径的黑节点数必不相同。现在要删除D节点，只需要直接将D节点删除，并将DR作为P的左子节点即可。因此删除后，变成上图右侧所示。

 

    b)       被删除的D节点为黑色。此时情况会稍复杂些，具体又分析为：DR为Nil与DR不为Nil。根据性质5，如果DR不为Nil，则DR必为红色，且DR的两个子节点必为Nil。因此，此处先来分析DR不为Nil的情况(因为该情况比较简单)。而DR为Nil的情况，由后面的C)及其后内容再进行具体分析 。

如前所述，如果DR不为Nil，则D、DR必为如下情况：

    分析：由于删除的D为黑色，删除后P的左子树的黑节点数必少1，此时刚好DR为黑色，并且删除后DR可以占据D的位置(这样仍是一棵二叉搜索树，只是暂时还不是合格的红黑树罢了)，然后再将DR的颜色改为黑色，刚好可以填补P左子树所减少的黑节点数。从而P树又平衡了。因此，平衡处理后，最终变成上图右侧的图示。

    c)       被删除的D为黑色，且DR为Nil。

如果DR为Nil，则删除D后，P的左子树黑节点数必定少1，纯粹想在P的左子树做文章来平衡P树是绝无可能的了。因此，必定需要其他分支的辅助来最终完成平衡调整。根据红黑树的定义，P会有一个右子节点，称为S子节点。此处又可细节分两种情况：黑S与红S。此处先讨论红S的情况。

    说明：如果S为黑，则它必不会为Nil。(不明白的人，再好好想想为什么)。同时根据红黑树的性质，D、S、P、SL、SL的颜色关系必只有如下一种情况(因为此处探讨的是S为红的情况)。

    分析：删除前P树的左、右子树的黑节点数平衡，删除后(即：上图右侧所示)，经过DR分支的黑节点数将比通过S分支的黑节点数少1。此时，做如下操作：

    将P左旋转，再将P由黑色改为红色，将S由红色改为黑色，演变过程如下图示：

    经过以上演变后，经过P的路径，左分支黑节点数仍是少1，其他分支的黑节点数做仍然保持不变。此时的情况却变成DR的兄弟节点为黑色(不再是红色的情况了)，因此转入此处c)点一开始所说的另一种情况(S为黑色的情况)的处理。

    注意：可能有人会一时想不明白什么要这样转换。因为这样转换后，虽然对于P树的左子树的黑节点数仍然会比右子树的黑节点数少1，但此时DR的兄弟(以前的S节点)现在已经变为SL，即已经由红色变为黑色，并且非常重要的此时的DR的兄弟节点SL的子结点(即：DR的两个侄子节点)，要不就是红色节点要不就必为Nil节点，而这种情况正是D为黑色、S也黑色的情况。(注意看注意看注意看一定注意看这点：对于被删除节点D的父节点来说，D黑S黑的情况下，无论如何D的兄弟节点S的两个儿子节点SL与SR都不可能是非Nil的黑节点。不明白的好好想想为什么)。因此我们有了进一步分析的余地。

    d)       被删除的D为黑色，S也为黑色的情况。根据D、P、S、SL、SR的颜色组合情况，本来是有非常多种变换的。但事实上，我们只需要按如下4种情况做进一步的处理，即可全部涵盖所有的颜色组合情况。

    d.1> SL为红，SR颜色任意；(对于该情况的处理，其实我们不关心P的颜色)

    d.2> SR为红，SL颜色任意；(对于该情况的处理，其实我们不关心P的颜色)

    d.3> SL、SR都为黑；P为红。(注意：根据前面c)点的红色文字部分的分析，此时SL与SR必定必定都为Nil节点)；

    d.4> SL、SR都为黑；P为黑。(注意：根据前面c)点的红色文字部分的分析，此时SL与SR必定必定都为Nil节点)；

 

    d.1> SL为红，SR颜色任意情况

    分析：P树的左子树黑节点数减少1，因此，要想平衡，必需想办法让左子树的黑结节数增加1，而且同时P的右子树的黑节点数要保持不变。因此，想办法将SL这个红色节点利用起来，让它来填补P的左子树所缺少的黑节点个数。因此，立马想到旋转，只要有办法转到P的左子树或P位置上，则就有可能填平P左子树的高度。所以具体操作步骤为：

    将S右旋转；接着将SL改为P的颜色，P的颜色改为黑色(用这个黑色来填补DR分支的黑节点数)；将P左旋转。

 

    d.2> SR为红色，SL颜色任意的情况

    分析：思路同d.1>情况类似，都是想办法用红色的SR节点来填补P的左子树的减少的黑节点数。具体步骤为：

    将S由黑色改为P的颜色；

    将SR由红色改为黑色；

    将P的颜色改为黑色(用该黑色来填补DR分支缺失的黑节点数)；

    将P节点左旋转；

 

    d.3> SL、SR都为黑色(其实都为Nil节点)，P为红色的情况

    分析：此情况较为简单，直接将红色的P改为黑色，以此为填补DR缺少的黑节点个数。此时P右子树黑节点数却增多，因此，再将S改为红色即可平衡。

 

    d.4> SL、SR都为黑色(其实都为Nil节点)，P为黑色的情况

    分析：因为DR、P、S、SL、SR全都为黑色，则不论如何变换，都永远不可能使用P的左右子树的黑节点数达到平衡。而P不平衡的原因是因为P的右子树黑节点数会比左子树多1个。因此，干脆将S由黑色改为红色，如此一来，P的左、右子树的黑节点个数是平衡的。但是，此时经过P的路径的黑节点个数将会比不经过它的路径少一个。因此，我们将P作为待平衡的节点(即：此时的P相当于DR的角色)往上继续上溯，直到P为根节点为止。

 

    到此，红黑树的删除操作已全部说明完。从以上的分析来看，红黑树的删除操作将是最为费时的，至少会比插入操作复杂，更耗时的可能性肯定会更大。但事实上，红黑树的插入、删除、效率都是非常高的。插入比较简单就不说了。删除操作事实上，就算遇到最坏情况：DR、P、S、SL、SR全为黑的情况下，在上溯过程中，一般情况下也是会很快就遇到红色的P节点的。除非整棵红黑树的右子树基本上都是黑节点(试想下，这可能性几乎不可能，因为我们插入时，总是以红色插入的，再加上红黑树的几条性质约束一下)，或者本来身红黑树的整体高度就非常浅。

 

    以上是个人的理解，欢迎指正。