考研数学之高等数学知识点整理——12.空间解析几何与向量代数

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十二、空间解析几何与向量代数

1 向量运算及其性质

1.1 向量的运算

设$a=\{x_1,y_1,z_1\},b=\{x_2,y_2,z_2\},c=\{x_3,y_3,z_3\}$，则

• ① $a\pm b=\{x_1\pm x_2,y_1\pm y_2,z_1\pm z_2\}$；
  
• ② $ka=\{k{x}_1,k{y}_1,k{z}_1\}$；
  
• ③ $a\cdot b=|a||b|\cos (a,b)=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$；
  
• ④ $c=a\times b$满足右手法则，垂直于a与b所确定的平面
  $a\times b=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|$
  $|c|=|a\times b|=|a||b|\sin (a,b)$；
  
• ⑤ $(a,b,c)=(a\times b)\cdot c=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|$。
  

1.2 运算性质

• ① $a\cdot b=b\cdot a$；(交换律)
  
• ② $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$；(分配律)
  
• ③ $\lambda (a\cdot b)=(\lambda a)\cdot b=a\cdot (\lambda b)$；
  
• ④ $a\times b=-b\times a$；(反交换律)
  
• ⑤ $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$；(分配律)
  
• ⑥ $\lambda a\times b=(\lambda a)\times b=a\times (\lambda b)$；
  
• ⑦ $(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)$；(轮换对称性)
  
• ⑧ $(a,b,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a)=-(b,a,c)$。(两向量互换，混合积变好)
  

2 向量之间的关系

设$a=\{x_1,y_1,z_1\},b=\{x_2,y_2,z_2\},c=\{x_3,y_3,z_3\}$，则

• ① $a\perp b\iff a\cdot b=0\iff x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2=0$；
  
• ② $a//b\iff a\times b=0\iff \frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$；
  
• ③ $a,b$共线$\iff$∃不全为零的数λ，μ，使$\lambda a+\mu b=0$；
  
• ④ $a,b,c$共面$\iff$∃不全为零的数λ，μ，γ，使$\lambda a+\mu b+\gamma c=0$或$(a,b,c)=0$；
  
• ⑤ $a,b$的夹角余弦$\cos (a,b)=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$。
  

3 平面方程

• ① 一般式：$Ax+By+Cz+D=0$；
  
• ② 点法式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
  过点$M(x_0,y_0,z_0)$，且法向量为$n=\{A,B,C\}$；
  
• ③ 三点式：$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$；
  
• ④ 截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$。
  

4 直线方程

• ① 一般式(两平面的交线)：
  $\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$
  $n_1=\{A_1,B_1,C_1\},n_2=\{A_2,B_2,C_2\}$
  直线的方向向量为$s=n_1\times n_2$；
  
• ② 标准式：$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$
  过点$M(x_0,y_0,z_0)$，且方向向量为$s=\{l,m,n\}$；
  
• ③ 两点式：$\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0}$
  过点$M(x_0,y_0,z_0)，M_1(x_1,y_1,z_1)$；
  
• ④ 参数式：$\{\begin{array}{l}x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt\end{array}$
  过点$M(x_0,y_0,z_0)$，且方向向量为$s=\{l,m,n\}$