《ACM算法详解》— 贪心算法

                                       贪心算法详解

 

       

贪心算法思想：

顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。

贪心算法的基本要素：

1.贪心选择性质。所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。

动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题，而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。

对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。

2. 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。

 

贪心算法的基本思路：

从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。

该算法存在问题：

1. 不能保证求得的最后解是最佳的；

2. 不能用来求最大或最小解问题；

3. 只能求满足某些约束条件的可行解的范围。

实现该算法的过程：

从问题的某一初始解出发；

while 能朝给定总目标前进一步 do

　　 求出可行解的一个解元素；

由所有解元素组合成问题的一个可行解；

 

用背包问题来介绍贪心算法：

背包问题：有一个背包，背包容量是M=150。有7个物品，物品可以分割成任意大小。要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。

物品 A B C D E F G

重量 35 30 60 50 40 10 25

价值 10 40 30 50 35 40 30

 

分析如下

目标函数： ∑pi最大

约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量：∑wi<=M( M=150)。

（1）根据贪心的策略，每次挑选价值最大的物品装入背包，得到的结果是否最优？

（2）每次挑选所占重量最小的物品装入是否能得到最优解？

（3）每次选取单位重量价值最大的物品，成为解本题的策略。

值得注意的是，贪心算法并不是完全不可以使用，贪心策略一旦经过证明成立后，它就是一种高效的算法。

贪心算法还是很常见的算法之一，这是由于它简单易行，构造贪心策略不是很困难。

可惜的是，它需要证明后才能真正运用到题目的算法中。

一般来说，贪心算法的证明围绕着：整个问题的最优解一定由在贪心策略中存在的子问题的最优解得来的。

对于背包问题中的3种贪心策略，都是无法成立（无法被证明）的，解释如下：

贪心策略：选取价值最大者。反例：

W=30

物品：A B C

重量：28 12 12

价值：30 20 20

根据策略，首先选取物品A，接下来就无法再选取了，可是，选取B、C则更好。

（2）贪心策略：选取重量最小。它的反例与第一种策略的反例差不多。

（3）贪心策略：选取单位重量价值最大的物品。反例：

W=30

物品：A B C

重量：28 20 10

价值：28 20 10

根据策略，三种物品单位重量价值一样，程序无法依据现有策略作出判断，如果选择A，则答案错误。但是果在条件中加一句当遇见单位价值相同的时候,优先装重量小的,这样的问题就可以解决.

所以需要说明的是，贪心算法可以与随机化算法一起使用，具体的例子就不再多举了。（因为这一类算法普及性不高，而且技术含量是非常高的，需要通过一些反例确定随机的对象是什么，随机程度如何，但也是不能保证完全正确，只能是极大的几率正确）。

 

网上对于这个装包问题的描述就就只有这些,但是在这里我还是要写一下,假设条件是什么?假设条件是上述几种反例的情况不存在的时候该如何求解:

 

[cpp] view plain copy  print?

1. #include   
2. using namespace std;  
3.   
4. struct Node  
5. {  
6.     float weight;  
7.     float value;  
8.     bool mark;  
9.     char char_mark;  
10.     float pre_weight_value;  
11. };  
12.   
13. int main(int argc, char* argv[])  
14. {  
15.     float Weight[7] = {35,30,60,50,40,15,20};  
16.     float Value [7] = {10,40,30,50,35,40,30};  
17.     Node array[7];  
18.     for(int i=0; i<7; i++)  
19.     {  
20.         array[i].value = Value[i];  
21.         array[i].weight = Weight[i];  
22.         array[i].char_mark = 65 + i;  
23.         array[i].mark = false;  
24.         array[i].pre_weight_value = Value[i] / Weight[i];  
25.     }  
26.       
27.     for(i=0;i<7;i++)  
28.         cout<" ";  
29.     cout<
30.       
31.     float weight_all=0.0;  
32.     float value_all = 0.0;  
33.     float max = 0.0;  
34.     char charArray[7];  
35.     int flag,n = 0;  
36.       
37.     while(weight_all <= 150)  
38.     {  
39.         for(int index=0;index < 7; ++index)  
40.         {  
41.             if(array[index].pre_weight_value > max && array[index].mark == false)  
42.             {  
43.                 max = array[index].pre_weight_value ;  
44.                 flag = index;  
45.             }  
46.         }  
47.           
48.         charArray[n++] = array[flag].char_mark;  
49.         array[flag].mark = true;  
50.         weight_all += array[flag].weight;  
51.         value_all += array[flag].value;  
52.         max = 0.0;  
53.     }  
54.       
55.     for(i=0;i
56.         cout<" ";  
57.     cout<
58.     cout<<"weight_all:"<
59.     cout<<"value_all:"<
60.       
61.     system("pause");  
62.     return 0;  
63. }  

下面我要说的是，这个算法里面就是采用的贪心第三方案，一般这个方案是成功率最大的，其他两个方案我在这里没有考虑，在这里得到的结果是利用了115容量装了价值195的东西，但是这明显不是最优结果，分明还可以装一个A进去！刚好满足150重量，由于在算法中我单纯的利用第三种贪心方法求解，当剩余的包裹中最优的再加进来的时候已经超过了，所以这个时候可以选择剩余包裹中次优的（如这里选择A），再不行就次次优的，尽量把包裹装满，这样得到的结果就很接近了（不保证一定为最优），但是我们一般不这样来求解，下一文章会介绍动态规划算法来解决这个问题，动态规划很好的弥补了贪心算法的不足！详见下一章！！

 

还需要说明的是，如果包裹是可以拆分的，那这个问题就得到了整体最优解，前面不变，就是当最后一次装进去已经超过容量的时候可以选择只装她的一部分！很多编程题一般是这种情况！

经自己总结的贪心算法几大经典问题：

1：活动时间安排的问题

    设有N个活动时间集合，每个活动都要使用同一个资源，比如说会议场，而且同一时间内只能有一个活动使用，每个活动都有一个使用活动的开始si和结束时间fi，即他的使用区间为（si,fi）,现在要求你分配活动占用时间表，即哪些活动占用该会议室，哪些不占用，使得他们不冲突，要求是尽可能多的使参加的活动最大化，即所占时间区间最大化！

上图为每个活动的开始和结束时间，我们的任务就是设计程序输出哪些活动可以占用会议室！

[cpp] view plain copy  print?

1. #include   
2. using namespace std;  
3.   
4. void GreedyChoose(int len,int *s,int *f,bool *flag);  
5.   
6. int main(int argc, char* argv[])  
7. {  
8.     int s[11] ={1,3,0,5,3,5,6,8,8,2,12};  
9.     int f[11] ={4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14};  
10.   
11.     bool mark[11] = {0};  
12.   
13.     GreedyChoose(11,s,f,mark);  
14.     for(int i=0;i<11;i++)  
15.         if(mark[i])  
16.             cout<" ";  
17.     system("pause");  
18.     return 0;  
19. }  
20.   
21. void GreedyChoose(int len,int *s,int *f,bool *flag)  
22. {  
23.     flag[0] = true;  
24.     int j = 0;  
25.     for(int i=1;i
26.         if(s[i] >= f[j])  
27.         {  
28.             flag[i] = true;  
29.             j = i;  
30.         }  
31. }  

得出结果是 0 3 7 10，也就是对应的时间段

值得说明一下，虽然贪心算法不是一定可以得到最好的解 ，但是对于这种活动时间的问题，他却得到的总是最优解，这点可以用数学归纳法证明，在这里，体现出来的贪心策略是：每一个活动时间的挑选总是选择最优的，就是刚好匹配的，这样得出的结果也就是最优的了！由于这个算法很简单，在这里就没有注释了！

类似这种题还有个区间覆盖问题，就是说很多个区间，其中有些是相互覆盖着的，要求去除多余的区间，使剩下的区间占用长度最大，实际就是这个题，只是问法变换了而已！接下来让我们看线性覆盖的问题，跟上面的相反！

2.贪心实例之线段覆盖（lines cover）

题目大意：

在一维空间中告诉你N条线段的起始坐标与终止坐标，要求求出这些线段一共覆盖了多大的长度。

为了方便说明，我们采用上述表格中的数据代表10条线段的起始点和终点，注意，这里是用起始点为顺序进行排列，和上面的不一样，知道了这些我们就可以着手开始设计这个程序：

 

[cpp] view plain copy  print?

1. #include   
2. using namespace std;  
3.   
4. int main(int argc, char* argv[])  
5. {  
6.     int s[10] = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11};  
7.     int f[10] = {3,5,7,6,9,8,12,10,13,15};  
8.     int TotalLength = (3-2);                   
9.   
10.     for(int i=1,int j=0; i<10 ; ++i)  
11.     {  
12.         if(s[i] >= f[j])  
13.         {  
14.             TotalLength += (f[i]-s[i]);  
15.             j = i;  
16.         }  
17.         else  
18.         {  
19.             if(f[i] <= f[j])  
20.                 continue;  
21.             else  
22.             {  
23.                 TotalLength += f[i] - f[j];  
24.                 j = i;  
25.             }  
26.         }  
27.     }  
28.   
29.     cout<
30.     system("pause");  
31.     return 0;  
32. }  

运行结果为13，显然这是我们需要的结果，这里注明一下，上面图表中数据有点问题，实际以程序中给出的为主！

 

3,：数字组合问题!

设有N个正整数，现在需要你设计一个程序，使他们连接在一起成为最大的数字，例3个整数 12,456,342 很明显是45634212为最大，4个整数 342，45,7,98显然为98745342最大

程序要求：输入整数N 接下来一行输入N个数字，最后一行输出最大的那个数字！

题目解析：拿到这题目，看起要来也简单，看起来也难，简单在什么地方，简单在好像就是寻找哪个开头最大，然后连在一起就是了，难在如果N大了，假如几千几万，好像就不是那么回事了，要解答这个题目需要选对合适的贪心策略，并不是把数字由大排到小那么简单，网上的解法是将数字转化为字符串，比如a+b和b+a，用strcmp函数比较一下就知道谁大，也就知道了谁该排在谁前面，不过我觉得这个完全没必要，在这里我采用一种比较巧妙的方法来解答，不知道大家还记得冒泡排序法不，那是排序最早接触的一种方法，我们先看看它的源代码：

[cpp] view plain copy  print?

1. #include   
2. using namespace std;  
3.   
4. int main(int argc, char* argv[])  
5. {  
6.     int array[10];  
7.     for(int i=0;i<10;i++)  
8.         cin>>array[i];  
9.   
10.     int temp;  
11.     for(i=0; i<=9 ; ++i)  
12.         for(int j=0;j<10-1-i;j++)  
13.             if(array[j] > array[j+1] )  
14.             {  
15.                 temp = array[j];  
16.                 array[j] = array[j+1];  
17.                 array[j+1] = temp;  
18.             }  
19.     for(i=0;i<10;i++)  
20.         cout<" ";  
21.     cout<
22.     system("pause");  
23.     return 0;  

[cpp] view plain copy  print?

1. }  

[cpp] view plain copy  print?

1. 相信这种冒泡已经很熟悉了，注意看程序中最核心的比较规则是什么，是这一句if(array[j] > array[j+1] ) 他是以数字大小作为比较准则来返回true或者是false，那么我们完全可以改变一下这个排序准则，比如23,123，这两个数字，在我们这个题中它可以组成两个数字 23123和12323，分明是前者大些，所以我们可以说23排在123前面，也就是23的优先级比123大，123的优先级比23小，所以不妨写个函数，传递参数a和b，如果ab比ba大，则返回true，反之返回false，函数原型如下：  

[cpp] view plain copy  print?

1.    

[cpp] view plain copy  print?

1. class="cpp" name="code">bool compare(int Num1,int Num2)  
2. {  
3.     int count1,count2;  
4.     int MidNum1 = Num1,MidNum2 = Num2;  
5.     while( MidNum1 )  
6.     {  
7.         ++count1;  
8.         MidNum1 /= 10;  
9.     }  
10.   
11.     while( MidNum2 )  
12.     {  
13.         ++count2;  
14.         MidNum2 /= 10;  
15.     }  
16.   
17.     int a = Num1 * pow(10,count2) + Num2;  
18.     int b = Num2 * pow(10,count1) + Num1;  
19.   
20.     return (a>b)? true:false;  
21. }  

22.   

23. 好了，我们的比较准则函数也已经完成了，只需要把这个比较准则加到关键的地方，这个题就算完成了，最终代码如下：

      
24. class="cpp" name="code">#include   
25. #include   
26. using namespace std;  
27.   
28. bool compare(int Num1,int Num2);  
29. int main(int argc, char* argv[])  
30. {  
31.     int N;  
32.     cout<<"please enter the number n:"<
33.     cin>>N;  
34.     int *array = new int [N];  
35.     for(int i=0;i
36.         cin>>array[i];  
37.       
38.     int temp;  
39.     for(i=0; i<=N-1 ; ++i)  
40.     {  
41.         for(int j=0;j
42.             if( compare(array[j],array[j+1]) )  
43.             {  
44.                 temp = array[j];  
45.                 array[j] = array[j+1];  
46.                 array[j+1] = temp;  
47.             }  
48.     }  
49.       
50.     cout<<"the max number is:";  
51.     for( i=N-1 ; i>=0 ; --i)  
52.         cout<
53.     cout<
54.     delete [] array;  
55.     system("pause");  
56.     return 0;  
57. }  
58.   
59. bool compare(int Num1,int Num2)  
60. {  
61.     int count1=0,count2=0;  
62.     int MidNum1 = Num1,MidNum2 = Num2;  
63.     while( MidNum1 )  
64.     {  
65.         ++count1;  
66.         MidNum1 /= 10;  
67.     }  
68.       
69.     while( MidNum2 )  
70.     {  
71.         ++count2;  
72.         MidNum2 /= 10;  
73.     }  
74.       
75.     int a = Num1 * pow(10,count2) + Num2;  
76.     int b = Num2 * pow(10,count1) + Num1;  
77.       
78.     return (a>b)? true:false;  
79. }  

80. 
      

81.  
      

82. 运行测试：

      

83. "" src="https://img-my.csdn.net/uploads/201303/31/1364663151_2496.jpg">

      

84. 可以看见这样很巧妙的改编冒泡排序就解决了这个问题，当然也可以用其他的排序算法，或者干脆用一个仿函数作为set容器的排序准则，insert进去就可以了，但是这个程序有一点小问题，假如输入的数字中有两个濒临越界的数据，合并在一起就越界了，那样就只能用字符串的形式进行比较！

      

85.  

      

86. "color:#ff0000">4,：找零钱的问题

      

87. 在贪心算法里面最常见的莫过于找零钱的问题了，题目大意如下，对于人民币的面值有1元 5元 10元 20元 50元 100元，下面要求设计一个程序，输入找零的钱，输出找钱方案中最少张数的方案，比如123元，最少是1张100的，1张20的，3张1元的，一共5张！

      

88. 解析：这样的题目运用的贪心策略是每次选择最大的钱，如果最后超过了，再选择次大的面值，然后次次大的面值，一直到最后与找的钱相等，这种情况大家再熟悉不过了，下面就直接看源代码：

      

89.  

      
90. class="cpp" name="code">#include   
91. #include   
92. using namespace std;  
93.   
94. int main(int argc, char* argv[])  
95. {  
96.     int MoneyClass[6] = {100,50,20,10,5,1};            //记录钱的面值  
97.     int MoneyIndex [6] ={0};                           //记录每种面值的数量  
98.     int MoneyAll,MoneyCount = 0,count=0;  
99.   
100.     cout<<"please enter the all money you want to exchange:"<
101.     cin>>MoneyAll;  
102.   
103.     for(int i=0;i<6;)                                  //只有这个循环才是主体  
104.     {  
105.         if( MoneyCount+MoneyClass[i] > MoneyAll)  
106.         {  
107.             i++;  
108.             continue;  
109.         }  
110.   
111.         MoneyCount += MoneyClass[i];  
112.         ++ MoneyIndex[i];  
113.         ++ count;  
114.   
115.         if(MoneyCount == MoneyAll)  
116.             break;  
117.     }  
118.   
119.     for(i=0;i<6;++i)                                  //控制输出的循环  
120.     {  
121.         if(MoneyIndex[i] !=0 )  
122.         {  
123.             switch(i)  
124.             {  
125.             case 0:  
126.                 cout<<"the 100 have:"<
127.                 break;  
128.             case 1:  
129.                 cout<<"the 50 have:"<
130.                 break;  
131.             case 2:  
132.                 cout<<"the 20 have:"<
133.                 break;  
134.             case 3:  
135.                 cout<<"the 10 have:"<
136.                 break;  
137.             case 4:  
138.                 cout<<"the 5 have:"<
139.                 break;  
140.             case 5:  
141.                 cout<<"the 1 have:"<
142.                 break;  
143.             }  
144.         }  
145.       
146.     }  
147.     cout<<"the total money have:"<
148.     system("pause");  
149.     return 0;  
150. }class="cpp" name="code"> class="cpp" name="code">   

151.  "font-size:24px; color:#ff0000">由于精力有限，贪心算法的很多题还没写，以后有时间会补上，其实最主要就是记住贪心策略，每次选择的都是对于当前而言最优的，贪心思想不难，利用好就需要多练习，望一起进步！（下一算法：动态规划算法）

       

152.   

153.   

154.   
155.   

     ［均分纸牌］有N堆纸牌，编号分别为1，2，…，n。每堆上有若干张,但纸牌总数必为n的倍数.可以在任一堆上取若干张纸牌,然后移动。移牌的规则为：在编号为1上取的纸牌，只能移到编号为2的堆上；在编号为n的堆上取的纸牌，只能移到编号为n-1的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。例如：n=4，4堆纸牌分别为：① 9 ② 8 ③ 17 ④ 6 移动三次可以达到目的：从③取4张牌放到④ 再从③区3张放到②然后从②去1张放到①。

     输入输出样例：4

     9 8 17 6

     屏幕显示：3

     算法分析：设a[i]为第I堆纸牌的张数（0<=I<=n），v为均分后每堆纸牌的张数，s为最小移动次数。

     我们用贪心算法，按照从左到右的顺序移动纸牌。如第I堆的纸牌数不等于平均值，则移动一次（即s加1），分两种情况移动：

     1．若a[i]>v，则将a[i]-v张从第I堆移动到第I+1堆；

     2．若a[i]

     为了设计的方便，我们把这两种情况统一看作是将a[i]-v从第I堆移动到第I+1堆，移动后有a[i]=v; a[I+1]=a[I+1]+a[i]-v.

     在从第I+1堆取出纸牌补充第I堆的过程中可能回出现第I+1堆的纸牌小于零的情况。

     如n=3，三堆指派数为1 2 27 ，这时v=10，为了使第一堆为10，要从第二堆移9张到第一堆，而第二堆只有2张可以移，这是不是意味着刚才使用贪心法是错误的呢？

     我们继续按规则分析移牌过程，从第二堆移出9张到第一堆后，第一堆有10张，第二堆剩下-7张，在从第三堆移动17张到第二堆，刚好三堆纸牌都是10，最后结果是对的，我们在移动过程中，只是改变了移动的顺序，而移动次数不便，因此此题使用贪心法可行的。

     Java源程序：

     public class Greedy {
         public static void main(String[] args) {
       int n = 0, avg =0, s = 0;
       Scanner scanner = new Scanner(System.in);
       ArrayList array = new ArrayList();
       System.out.println("Please input the number of heaps:");
       n = scanner.nextInt();
       System.out.println("Please input heap number:");
       for (int i = 0; i < n; i++) {
        array.add(scanner.nextInt());
       }
       for(int i = 0; i < array.size(); i ++){
        avg += array.get(i);
       }
       avg = avg/array.size();
       System.out.println(array.size());
       System.out.println(avg);
       for(int i = 0; i < array.size()-1; i ++){
        s++;
        array.set(i+1, array.get(i+1)+array.get(i)-avg);   
       }
       System.out.println("s:" + s);
      }
     }

     利用贪心算法解题，需要解决两个问题：

     一是问题是否适合用贪心法求解。我们看一个找币的例子，如果一个货币系统有三种币值，面值分别为一角、五分和一分，求最小找币数时，可以用贪心法求解；如果将这三种币值改为一角一分、五分和一分，就不能使用贪心法求解。用贪心法解题很方便，但它的适用范围很小，判断一个问题是否适合用贪心法求解，目前还没有一个通用的方法，在信息学竞赛中，需要凭个人的经验来判断。

     二是确定了可以用贪心算法之后，如何选择一个贪心标准，才能保证得到问题的最优解。在选择贪心标准时，我们要对所选的贪心标准进行验证才能使用，不要被表面上看似正确的贪心标准所迷惑，如下面的例子。

     ［最大整数］设有n个正整数，将它们连接成一排，组成一个最大的多位整数。

     例如：n=3时，3个整数13，312，343，连成的最大整数为34331213。

     又如：n=4时，4个整数7，13，4，246，连成的最大整数为7424613。

     输入：n

     N个数

     输出：连成的多位数

     算法分析：此题很容易想到使用贪心法，在考试时有很多同学把整数按从大到小的顺序连接起来，测试题目的例子也都符合，但最后测试的结果却不全对。按这种标准，我们很容易找到反例：12，121应该组成12121而非12112，那么是不是相互包含的时候就从小到大呢？也不一定，如12，123就是12312而非12123，这种情况就有很多种了。是不是此题不能用贪心法呢？

     其实此题可以用贪心法来求解，只是刚才的标准不对，正确的标准是：先把整数转换成字符串，然后在比较a+b和b+a，如果a+b>=b+a，就把a排在b的前面，反之则把a排在b的后面。

     java源程序：

     public static void main(String[] args){
       String str = "";
       ArrayList array = new ArrayList();
       Scanner in = new Scanner(System.in);
       System.out.println("Please input the number of data:");
       int n = in.nextInt();
       System.out.println("Please input the data:");
       while (n-- > 0) {
        array.add(in.next());   
       }
       for(int i = 0; i < array.size(); i ++)
        for(int j = i + 1; j < array.size(); j ++){
         if((array.get(i) + array.get(j)).compareTo(array.get(j) + array.get(i)) < 0){
          String temp = array.get(i);
          array.set(i, array.get(j));
          array.set(j, temp);
         }
        }  
       for(int i = 0; i < array.size(); i ++){
        str += array.get(i);
       }
       System.out.println("str=:"+str);  
      }
     }