距离的度量方法
所列的距离公式列表和代码如下：
闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)
欧氏距离(Euclidean Distance)
曼哈顿距离(Manhattan Distance)
切比雪夫距离(Chebyshev Distance)
夹角余弦(Cosine)
汉明距离(Hamming distance)
杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient)
读者可根据自己需求有选择的学习。因使用矢量编程的方法，距离计算得到了较大的简化。
1. 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)
严格意义上，闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。
(1)闵氏距离的定义:
两个n维变量A(x11,x12,…,x1n)与 B(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：
其中p是一个变参数。
当p=1时，就是曼哈顿距离
当p=2时，就是欧氏距离
当p→∞时，就是切比雪夫距离
根据变参数的不同，闵氏距离可以表示一类的距离。
2.欧氏距离(Euclidean Distance)
欧氏距离（L2范数）是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式（如图1.9）。
3.曼哈顿距离(Manhattan Distance)
从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”(L1范数)。而这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)（如图1.10）。
(3)python实现曼哈顿距离：
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from numpy import *
vector1 = mat([1,2,3])
vector2 = mat([4,5,6])
print sum(abs(vector1-vector2))
输出：
9
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4.切比雪夫距离(Chebyshev Distance)
国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个（如图1.11）。那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？自己走走试试。你会发现最少步数总是max(| x2-x1| , |y2-y1| ) 步。有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离(L∞范数)。
(3) Python实现切比雪夫距离：
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from numpy import *
vector1 = mat([1,2,3])
vector2 = mat([4,7,5])
print abs(vector1-vector2).max()
输出：
5
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5. 夹角余弦(Cosine)
几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异（如图1.12）。
(1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：
(2) 两个n维样本点A (x11,x12,…,x1n)与 B(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦
类似的，对于两个n维样本点A(x11,x12,…,x1n)与 B(x21,x22,…,x2n)，可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。
夹角余弦取值范围为[-1,1]。夹角余弦越大表示两个向量的夹角越小，夹角余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时夹角余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。
(3)python实现夹角余弦
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from numpy import *
cosV12 = dot(vector1,vector2)/(linalg.norm(vector1)*linalg.norm(vector2))
print cosV12
输出：
0.92966968
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6. 汉明距离(Hamming distance)
(1)汉明距离的定义
两个等长字符串s1与s2之间的汉明距离定义为将其中一个变为另外一个所需要作的最小替换次数。例如字符串“1111”与“1001”之间的汉明距离为2。
应用：信息编码（为了增强容错性，应使得编码间的最小汉明距离尽可能大）。
(2) python实现汉明距离：
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from numpy import *
matV = mat([[1,1,0,1,0,1,0,0,1],[0,1,1,0,0,0,1,1,1]])
smstr = nonzero(matV[0]-matV[1]);
print shape(smstr[0])[1]
输出：
6
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7. 杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient)
(1) 杰卡德相似系数
两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数，用符号J(A,B)表示。
(4) Python实现杰卡德距离：
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from numpy import *
import scipy.spatial.distance as dist # 导入scipy距离公式
matV = mat([[1,1,0,1,0,1,0,0,1],[0,1,1,0,0,0,1,1,1]])
print "dist.jaccard:", dist.pdist(matV,'jaccard')
输出：
dist.jaccard: [ 0.75]
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