算法设计与分析之回溯法

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1. 一 回溯法 深度优先搜素                       
   1. 简单概述
   2. 详细描述
   3. 回溯法应用
2. 二 回溯法实现 - 递归和递推迭代                               
   1. 递归
   2. 递推
3. 三 子集树和排列树                                                        
   1. 子集树
   2. 排列树
4. 四 经典问题                                    
   1. 0-1背包问题
   2. 旅行售货员问题
   3. 详细描述N皇后问题
   4. 迷宫问题

一. 回溯法 – 深度优先搜素

1. 简单概述

       回溯法思路的简单描述是：把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。

基本思想类同于：

• 图的深度优先搜索
• 二叉树的后序遍历

      【

         分支限界法：广度优先搜索

         思想类同于：图的广度优先遍历

                                二叉树的层序遍历

      】

2. 详细描述

        详细的描述则为：

        回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

        回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

        问题的关键在于如何定义问题的解空间，转化成树（即解空间树）。解空间树分为两种：子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。

3. 回溯法应用

       当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。

       它有“通用解题法”之美誉。

二. 回溯法实现 - 递归和递推（迭代）                               

        回溯法的实现方法有两种：递归和递推（也称迭代）。一般来说，一个问题两种方法都可以实现，只是在算法效率和设计复杂度上有区别。
      【类比于图深度遍历的递归实现和非递归（递推）实现】

1. 递归

        思路简单，设计容易，但效率低，其设计范式如下：

 //针对N叉树的递归回溯方法
 void backtrack (int t)
 {
 "white-space:pre">  if (t>n) output(x); //叶子节点，输出结果，x是可行解
 "white-space:pre">  else
 "white-space:pre">      for i = 1 to k//当前节点的所有子节点
 "white-space:pre">      {
 "white-space:pre">          x[t]=value(i); //每个子节点的值赋值给x
 "white-space:pre">          //满足约束条件和限界条件
 "white-space:pre">          if (constraint(t)&&bound(t))
 "white-space:pre">          backtrack(t+1);  //递归下一层
 "white-space:pre">      }
 }"font-family:SimHei;">

2. 递推

      算法设计相对复杂，但效率高。

 //针对N叉树的迭代回溯方法
 void iterativeBacktrack ()
 {
     int t=1;
     while (t>0) {
         if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点
         {
             for i = 1 to k  //遍历当前节点的所有子节点
             {
                 x[t]=value(i);//每个子节点的值赋值给x
                 if (constraint(t)&&bound(t))//满足约束条件和限界条件
                 {
                     //solution表示在节点t处得到了一个解
                     if (solution(t)) output(x);//得到问题的一个可行解，输出
                     else t++;//没有得到解，继续向下搜索
                 }
             }
         }
         else //不存在子节点，返回上一层
         {
             t--;
         }
     }
 }

三. 子集树和排列树                                                        

1. 子集树

       所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间成为子集树。
如0-1背包问题，从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包，使得在满足背包不超重的情况下，背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。

       回溯法搜索子集树的算法范式如下：

 void backtrack (int t)
 {
   if (t>n) output(x);
     else
       for (int i=0;i<=1;i++) {
         x[t]=i;
         if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);
       }
 }"font-family:SimHei;">

2. 排列树

      所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间就是排列树。
如旅行售货员问题，一个售货员把几个城市旅行一遍，要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列，解空间就是排列树。
      回溯法搜索排列树的算法范式如下：

 "font-size:18px;">void backtrack (int t)
 {
   if (t>n) output(x);
     else
       for (int i=t;i<=n;i++) {
         swap(x[t], x[i]);
         if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);
         swap(x[t], x[i]);
       }
 } "font-family:SimHei;font-size:24px;">

四. 经典问题

（1）装载问题
（2）0-1背包问题
（3）旅行售货员问题
（4）八皇后问题
（5）迷宫问题
（6）图的m着色问题

1. 0-1背包问题

        问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
        分析：问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点（如B），就遍历其子节点（D和E），如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。

代码：

 #include

 #define N 3         //物品的数量
 #define C 16        //背包的容量

 int w[N]={10,8,5};  //每个物品的重量
 int v[N]={5,4,1};   //每个物品的价值
 int x[N]={0,0,0};   //x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入

 int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量
 int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值

 int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0
 int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入

 //t = 0 to N-1
 void backtrack(int t)
 {
     //叶子节点，输出结果
     if(t>N-1)
     {
         //如果找到了一个更优的解
         if(CurValue>BestValue)
         {
             //保存更优的值和解
             BestValue = CurValue;
             for(int i=0;i
         }
     }
     else
     {
         //遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包
         for(int i=0;i<=1;++i)
         {
             x[t]=i;

             if(i==0) //不放入背包
             {
                 backtrack(t+1);
             }
             else //放入背包
             {
  "white-space:pre">             //约束条件：放的下
                 if((CurWeight+w[t])<=C)
                 {
 "white-space:pre">                  CurWeight += w[t];
                     CurValue += v[t];
                     backtrack(t+1);
                     CurWeight -= w[t];
                     CurValue -= v[t];
                 }
             }
         }
         //PS:上述代码为了更符合递归回溯的范式，并不够简洁
     }
 }

 int main(int argc, char* argv[])
 {
     backtrack(0);

     printf("最优值：%d\n",BestValue);

     for(int i=0;i
     {
        printf("最优解：%-3d",BestX[i]);
     }
     return 0;
 }

2. 旅行售货员问题

      回溯法----旅行售货员问题

3. 详细描述N皇后问题

       问题：在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

       N皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。

      分析：从n×n个格子中选择n个格子摆放皇后。可见解空间树为子集树。

      使用Board[N][N]来表示棋盘，Board[i][j]=0 表示(I,j)位置为空，Board[i][j]=1 表示(I,j)位置摆放有一个皇后。

      全局变量way表示总共的摆放方法数目。

      使用Queen(t)来摆放第t个皇后。Queen(t) 函数符合子集树时的递归回溯范式。当t>N时，说明所有皇后都已经摆   放完成，这是一个可行的摆放方法，输出结果；否则，遍历棋盘，找皇后t所有可行的摆放位置，Feasible(i,j) 判断皇后t能否摆放在位置(i,j)处，如果可以摆放则继续递归摆放皇后t+1，如果不能摆放，则判断下一个位置。

       Feasible(row,col)函数首先判断位置(row,col)是否合法，继而判断(row,col)处是否已有皇后，有则冲突，返回0，无则继续判断行、列、斜方向是否冲突。斜方向分为左上角、左下角、右上角、右下角四个方向，每次从（row,col）向四个方向延伸一个格子，判断是否冲突。如果所有方向都没有冲突，则返回1，表示此位置可以摆放一个皇后。

        代码：

 /************************************************************************
  * 名  称：NQueen.cpp
  * 功  能：回溯算法实例：N皇后问题
  * 作  者：JarvisChu
  * 时  间：2013-11-13
  ************************************************************************/

 #include

 #define N 8

 int Board[N][N];"white-space:pre">  //棋盘 0表示空白 1表示有皇后
 int way;"white-space:pre">      //摆放的方法数


 //判断能否在(x,y)的位置摆放一个皇后；0不可以，1可以
 int Feasible(int row,int col)
 {
     //位置不合法
     if(row>N || row<0 || col >N || col<0)
         return 0;

     //该位置已经有皇后了，不能
     if(Board[row][col] != 0)
     {   //在行列冲突判断中也包含了该判断，单独提出来为了提高效率
         return 0;
     }

     //////////////////////////////////////////////////
     //下面判断是否和已有的冲突

     //行和列是否冲突
     for(int i=0;i
     {
         if(Board[row][i] != 0 || Board[i][col]!=0)
             return 0;
     }

     //斜线方向冲突

     for(int i=1;i
     {
 /* i表示从当前点(row,col)向四个斜方向扩展的长度

 左上角 \  / 右上角   i=2
         \/           i=1
         /\           i=1
 左下角 /  \ 右下角   i=2
 */
         //左上角
         if((row-i)>=0 && (col-i)>=0)    //位置合法
         {
             if(Board[row-i][col-i] != 0)//此处已有皇后，冲突
                 return 0;
         }

         //左下角
         if((row+i)=0)
         {
             if(Board[row+i][col-i] != 0)
                 return 0;
         }

         //右上角
         if((row-i)>=0 && (col+i)
         {
             if(Board[row-i][col+i] != 0)
                 return 0;
         }

         //右下角
         if((row+i)
         {
             if(Board[row+i][col+i] != 0)
                 return 0;
         }
     }

     return 1; //不会发生冲突，返回1
 }


 //摆放第t个皇后 ；从1开始
 void Queen(int t)
 {
     //摆放完成，输出结果
     if(t>N)
     {
         way++;
         /*如果N较大，输出结果会很慢；N较小时，可以用下面代码输出结果
         for(int i=0;i
             for(int j=0;j
                 printf("%-3d",Board[i][j]);
             printf("\n");
         }
         printf("\n------------------------\n\n");
         */
     }
     else
     {
         for(int i=0;i
         {
             for(int j=0;j
             {
                 //（i,j）位置可以摆放皇后，不冲突
                 if(Feasible(i,j))
                 {
                     Board[i][j] = 1;  //摆放皇后t
                     Queen(t+1);       //递归摆放皇后t+1
                     Board[i][j] = 0;  //恢复
                 }
             }
         }
     }
 }

 //返回num的阶乘,num!
 int factorial(int num)
 {
     if(num==0 || num==1)
         return 1;
     return num*factorial(num-1);
 }


 int main(int argc, char* argv[])
 {
     //初始化
     for(int i=0;i
     {
         for(int j=0;j
         {
             Board[i][j]=0;
         }
     }

     way = 0;

     Queen(1);  //从第1个皇后开始摆放

     //如果每个皇后都不同
     printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way);//N=8时, way=3709440 种

     //如果每个皇后都一样，那么需要除以 N！出去重复的答案（因为相同，则每个皇后可任意调换位置）
     printf("考虑每个皇后都不同，摆放方法：%d\n",way/factorial(N));//N=8时, way=3709440/8! = 92种

     return 0;
 }

PS：该问题还有更优的解法。充分利用问题隐藏的约束条件：每个皇后必然在不同的行(列)，每个行(列)必然也只有一个皇后。这样我们就可以把N个皇后放到N个行中，使用Pos[i]表示皇后i在i行中的位置（也就是列号）（i = 0 to N-1）。这样代码会大大的简洁，因为节点的子节点数目会减少，判断冲突也更简单。

4. 迷宫问题

        问题：给定一个迷宫，找到从入口到出口的所有可行路径，并给出其中最短的路径

        分析：用二维数组来表示迷宫，则走迷宫问题用回溯法解决的的思想类似于图的深度遍历。从入口开始，选择下一个可以走的位置，如果位置可走，则继续往前，如果位置不可走，则返回上一个位置，重新选择另一个位置作为下一步位置。

        N表示迷宫的大小，使用Maze[N][N]表示迷宫，值为0表示通道（可走），值为1表示不可走（墙或者已走过）；

        Point结构体用来记录路径中每一步的坐标(x,y)

       (ENTER_X,ENTER_Y) 是迷宫入口的坐标

       (EXIT_X, EXIT _Y)    是迷宫出口的坐标

       Path容器用来存放一条从入口到出口的通路路径

       BestPath用来存放所有路径中最短的那条路径

       Maze()函数用来递归走迷宫，具体步骤为：

       1. 首先将当前点加入路径，并设置为已走
       2. 判断当前点是否为出口，是则输出路径，保存结果；跳转到4
       3. 依次判断当前点的上、下、左、右四个点是否可走，如果可走则递归走该点
       4. 当前点推出路径，设置为可走

       代码：

 /************************************************************************
  * 名  称：Maze.cpp
  * 功  能：回溯算法实例：迷宫问题
  * 作  者：JarvisChu
  * 时  间：2013-11-13
  ************************************************************************/
 #include
 #include

 using namespace std;

 typedef struct
 {
     int x;
     int y;
 }Point;

 #define N 10         //迷宫的大小
 #define ENTER_X 0    //入口的位置（0，0）
 #define ENTER_Y 0
 #define EXIT_X N-1   //出口的位置(N-1,N-1)
 #define EXIT_Y N-1


 int Maze[N][N];"white-space:pre">       //定义一个迷宫，0表示通道，1表示不可走（墙或已走）
 int paths;"white-space:pre">        //路径条数
 vector Path;"white-space:pre"> //保存一条可通的路径
 vector BestPath;"white-space:pre"> //保存最短的路径

 bool First = true;"white-space:pre">    //标志，找到第一条路径

 //初始化迷宫
 void InitMaze()
 {
 "white-space:pre">  //简单起见，本题定义一个固定大小10*10的迷宫
 "white-space:pre">  //定义一个迷宫，0表示通道，1表示墙(或不可走)
     int mz[10][10]={
     {0,0,1,1,1,1,1,1,1,1}, //0
     {1,0,0,1,1,0,0,1,0,1}, //1
     {1,0,0,1,0,0,0,1,0,1}, //2
     {1,0,0,0,0,1,1,0,0,1}, //3
     {1,0,1,1,1,0,0,0,0,1}, //4
     {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1}, //5
     {1,0,1,0,0,0,1,0,0,1}, //6
     {1,0,1,1,1,0,1,1,0,1}, //7
     {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, //8
     {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0}  //9
     //   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
     };

     //复制到迷宫
     memcpy(Maze,mz,sizeof(mz));

     paths = 0;
 }

 //从(x,y)位置开始走；初始为(0,0)
 void MazeTrack(int x,int y)
 {
     ///////////////////////////////////////
     //当前点加入到路径
     Point p={x,y};
     Path.push_back(p);
     Maze[x][y] = 1;         //设置为已走，不可走

     //cout<<"来到("<

     ///////////////////////////////////////
     //如果该位置是出口，输出结果
     if(x == EXIT_X && y== EXIT_Y)
     {
         cout<<"找到一条道路"<
         paths++;

         //输出路径
         vector::iterator it;
         for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it)
         {
             cout<<"("<x<<","<y<<") ";
         }
         cout<

         //判断是否更优
         if(First)//如果是找到的第一条路径，直接复制到最优路径
         {
             for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it)
             {
                 BestPath.push_back(*it);
             }
             First = false;
         }
         else //不是第一条，则判断是否更短
         {
             //更短，复制到最优路径
             if(Path.size()
             {
                 BestPath.clear();
                 for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it)
                 {
                     BestPath.push_back(*it);
                 }
             }
         }
     }

     ///////////////////////////////////////
     //判断(x,y)位置的上、下、左、右是否可走

     if((x-1)>=0 && Maze[x-1][y]==0)//上(x-1,y)；存在且可走
     {
         MazeTrack(x-1,y);
     }

     if((x+1)//下(x+1,y)；存在且可走
     {
         MazeTrack(x+1,y);
     }

     if((y-1)>=0 && Maze[x][y-1]==0)//左(x,y-1)；存在且可走
     {
         MazeTrack(x,y-1);
     }

     if((y+1)//右(x,y+1)；存在且可走
     {
         MazeTrack(x,y+1);
     }

     ///////////////////////////////////////
     //返回上一步
     Path.pop_back();
     Maze[x][y] = 0;         //设置为未走
 }


 int main(int argc, char* argv[])
 {
     //初始化迷宫
     InitMaze();

 /*  //显示迷宫
     for(int i=0;i
         for(int j=0;j
             cout<
         cout<
     }*/

     //回溯法走迷宫
     MazeTrack(ENTER_X,ENTER_Y);

     //显示最优的路径
     cout<<"可行路径总条数为"<"；最优路径为"<
     vector::iterator it;
     for(it=BestPath.begin();it!=BestPath.end();++it)
     {
         cout<<"("<x<<","<y<<") ";
     }
     cout<
     return 0;
 }

PS：用WPF实现了一个简单的图形化迷宫程序。白色表示通道，红色表示墙，最短的路径用黄色显示。目前实现了一个10*10的迷宫自动搜素最短通路，右侧显示搜索过程中得到的每一个可行通路。
由于构造一个迷宫比较复杂，所以暂时“迷宫设置”功能没有做实现，至于手动一步步查看搜素过程的动画也没有做实现。

实现的大致思路如下：迷宫的数据使用二维数据mazeData表示。迷宫的显示使用Grid控件表示，每个方格处添加一个Rectangle控件，如果该方格mazeData值为0，则填充白色值为1，则填充红色，值为2则填充黄色。

XAML代码为：

 <Window x:Class="MazeAnimation.MainWindow"
         xmlns="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml/presentation"
         xmlns:x="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml"
         Title="迷宫" Height="496" Width="673" Loaded="Window_Loaded">
     <Grid>
         <Grid.RowDefinitions>
             <RowDefinition Height="30">RowDefinition>
             <RowDefinition Height="*">RowDefinition>
             <RowDefinition Height="120">RowDefinition>
         Grid.RowDefinitions>

         <Grid.ColumnDefinitions>
             <ColumnDefinition Width="463">ColumnDefinition>
             <ColumnDefinition Width="*">ColumnDefinition>
         Grid.ColumnDefinitions>

         <DockPanel Name="dpTips" Grid.Row="0" Grid.ColumnSpan="2" Background="AliceBlue" >
             <Label FontSize="16" Foreground="#FFAD1616" HorizontalAlignment="Center">迷宫的动态演示Label>
         DockPanel>

         <Grid Name="gdMaze" Grid.Row="1" Grid.Column="0" HorizontalAlignment="Stretch" VerticalAlignment="Stretch" >

         Grid>

         <ScrollViewer Grid.Row="1" Grid.Column="1"  Margin="5" HorizontalAlignment="Stretch" HorizontalScrollBarVisibility="Auto">
             <TextBox Name="tbLog" Background="Beige">TextBox>
         ScrollViewer>

         <DockPanel Name="dpSetting" Grid.Row="2" Grid.Column="0"  VerticalAlignment="Stretch">

             <TabControl Name="tcMazeSetting"  Background="#FFE5D9D9" VerticalAlignment="Stretch" HorizontalAlignment="Stretch">
                 <TabItem Header="迷宫设置" Name="tabItemMaze">
                     <Grid>
                         <Grid.RowDefinitions>
                             <RowDefinition Height="*">RowDefinition>
                             <RowDefinition Height="*">RowDefinition>
                             <RowDefinition Height="*">RowDefinition>
                         Grid.RowDefinitions>
                         <Grid.ColumnDefinitions>
                             <ColumnDefinition Width="60">ColumnDefinition>
                             <ColumnDefinition Width="*">ColumnDefinition>
                         Grid.ColumnDefinitions>

                         <Label Content="大小："  Name="label1" Grid.Row="0" Grid.Column="0"/>
                         <Label Content="入口："  Name="label2" Grid.Row="1" Grid.Column="0"/>
                         <Label Content="出口："  Name="label3" Grid.Row="2" Grid.Column="0"/>

                         <StackPanel Grid.Row="0" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">
                             <Label Content="高：">Label>
                             <TextBox Name="tbMazeHeight" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
                             <Label Content="宽：">Label>
                             <TextBox Name="tbMazeWidth" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
                         StackPanel>

                         <StackPanel Grid.Row="1" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">
                             <Label Content="X=">Label>
                             <TextBox Name="tbEnterX" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
                             <Label Content="Y=">Label>
                             <TextBox Name="tbEnterY" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
                         StackPanel>

                         <StackPanel Grid.Row="2" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">
                             <Label Content="X=">Label>
                             <TextBox Name="tbExitX" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
                             <Label Content="Y=">Label>
                             <TextBox Name="tbExitY" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
                         StackPanel>
                     Grid>

                 TabItem>
                 <TabItem Header="演示设置" Name="tabItemDemo">
                     <StackPanel Orientation="Vertical" HorizontalAlignment="Stretch">
                         <CheckBox Name="cbAutoRun" Content="自动执行" Margin="10">CheckBox>
                         <StackPanel Orientation="Horizontal">
                             <Label Content="执行速度:" Margin="10">Label>
                             <TextBox Name="tbAutoRunSpeed" MinWidth="50" Margin="10">TextBox>
                             <Label Content="毫秒" Margin="0,10,0,10">Label>
                         StackPanel>
                     StackPanel>
                 TabItem>
             TabControl>
         DockPanel>

         <StackPanel Orientation="Horizontal" Grid.Row="2" Grid.Column="1" HorizontalAlignment="Center">
             <Button Name="btnStart" Content="自动开始" Height="40" Width="70" Margin="5" Click="btnStart_Click">Button>
             <Button Name="btnNext" Content="手动下一步" Height="40" Width="70" Margin="5" Click="btnNext_Click">Button>
         StackPanel>
     Grid>
 Window>

对应的MainWindow.xaml.cs代码为：

 using System;
 using System.Collections.Generic;
 using System.Linq;
 using System.Text;
 using System.Windows;
 using System.Windows.Controls;
 using System.Windows.Data;
 using System.Windows.Documents;
 using System.Windows.Input;
 using System.Windows.Media;
 using System.Windows.Media.Imaging;
 using System.Windows.Navigation;
 using System.Windows.Shapes;

 namespace MazeAnimation
 {



     ///
     /// Interaction logic for MainWindow.xaml
     ///
     public partial class MainWindow : Window
     {
         public struct Point
         {
             public int x;
             public int y;
             public Point(int a, int b) { x = a; y = b; }
         };

         public bool bAutoRun = true;
         public int mazeHeight = 10;
         public int mazeWidth = 10;

         int[,] mazeData = new int[10, 10]
             {
                 {0,0,1,1,1,1,1,1,1,1}, //0
                 {1,0,0,1,1,0,0,1,0,1}, //1
                 {1,0,0,1,0,0,0,1,0,1}, //2
                 {1,0,0,0,0,1,1,0,0,1}, //3
                 {1,0,1,1,1,0,0,0,0,1}, //4
                 {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1}, //5
                 {1,0,1,0,0,0,1,0,0,1}, //6
                 {1,0,1,1,1,0,1,1,0,1}, //7
                 {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0}, //8
                 {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0}  //9
             //   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
             };

         public int enterX = 0;
         public int enterY = 0;
         public int exitX = 9;
         public int exitY = 9;
         public int runSpeed = 100;

         public int paths = 0; //总条数
         public Stack path = new Stack(); //一条找到的路径
         public Stack bestPath = new Stack();//最优路径
         public bool bFrist = true;


         public MainWindow()
         {
             InitializeComponent();
         }

         //显示迷宫，白色0表示通道，红色1表示不可走，黄色2表示最优的路径，绿色3表示已经走过的路径
         private void DisplayMaze()
         {
             gdMaze.Children.Clear();
             //设置可走和不可走
             for (int i = 0; i < mazeHeight; i++)
             {
                 for (int j = 0; j < mazeWidth; j++)
                 {
                     Rectangle rect = new Rectangle();
                     rect.SetValue(Grid.RowProperty, i);
                     rect.SetValue(Grid.ColumnProperty, j);

                     if (mazeData[i, j] == 0)
                     {
                         rect.Fill = Brushes.White;
                     }
                     else if (mazeData[i, j] == 1)
                     {
                         rect.Fill = Brushes.Red;
                     }
                     else if (mazeData[i, j] == 2)
                     {
                         rect.Fill = Brushes.Yellow;
                     }
                     else if (mazeData[i, j] == 3)
                     {
                         rect.Fill = Brushes.Blue;
                     }
                     gdMaze.Children.Add(rect);
                 }
             }
         }

         //初始化迷宫
         private void InitMaze()
         {

             gdMaze.Background = Brushes.LightGray;
             gdMaze.ShowGridLines = true;

             for (int i = 0; i < mazeHeight; i++)
             {
                 gdMaze.RowDefinitions.Add(new RowDefinition());
             }

             for (int i = 0; i < mazeWidth; i++)
             {
                 gdMaze.ColumnDefinitions.Add(new ColumnDefinition());
             }

             DisplayMaze();
         }

         //从(x,y)位置开始走；初始为(0,0)
         private void MazeTrack(int x, int y)
         {
             ///////////////////////////////////////
             //当前点加入到路径
             Point p = new Point(x, y);
             path.Push(p);

             mazeData[x, y] = 3;         //设置为已走，不可走
             //DisplayMaze();
             //System.Threading.Thread.Sleep(runSpeed);//休眠


             ///////////////////////////////////////
             //如果该位置是出口，输出结果
             if (x == exitX && y == exitY)
             {
                 string msg = "找到一条道路(逆序)\n";
                 tbLog.AppendText(msg);

                 paths++;

                 //输出路径
                 foreach (Point pnt in path)
                 {
                     msg = "(" + pnt.x + "," + pnt.y + ")";
                     tbLog.AppendText(msg);
                 }
                 tbLog.AppendText("\n\n");

                 //判断是否更优
                 if (bFrist)//如果是找到的第一条路径，直接复制到最优路径
                 {
                     foreach (Point pnt in path)
                     {
                         bestPath.Push(pnt);
                     }

                     bFrist = false;
                 }
                 else //不是第一条，则判断是否更短
                 {
                     //更短，复制到最优路径
                     if (path.Count < bestPath.Count)
                     {
                         bestPath.Clear();
                         foreach (Point pnt in path)
                         {
                             bestPath.Push(pnt);
                         }
                     }
                 }
             }

             ///////////////////////////////////////
             //判断(x,y)位置的上、下、左、右是否可走

             if ((x - 1) >= 0 && mazeData[x - 1, y] == 0)//上(x-1,y)；存在且可走
             {
                 MazeTrack(x - 1, y);
             }

             if ((x + 1) < mazeHeight && mazeData[x + 1, y] == 0)//下(x+1,y)；存在且可走
             {
                 MazeTrack(x + 1, y);
             }

             if ((y - 1) >= 0 && mazeData[x, y - 1] == 0)//左(x,y-1)；存在且可走
             {
                 MazeTrack(x, y - 1);
             }

             if ((y + 1) < mazeWidth && mazeData[x, y + 1] == 0)//右(x,y+1)；存在且可走
             {
                 MazeTrack(x, y + 1);
             }

             ///////////////////////////////////////
             //返回上一步
             path.Pop();
             mazeData[x, y] = 0;         //设置为未走

             //DisplayMaze();
             //System.Threading.Thread.Sleep(runSpeed);//休眠
         }


         private void Window_Loaded(object sender, RoutedEventArgs e)
         {
             //初始化变量
             tbMazeHeight.Text = mazeHeight.ToString();
             tbMazeWidth.Text = mazeWidth.ToString();
             tbEnterX.Text = enterX.ToString();
             tbEnterY.Text = enterY.ToString();
             tbExitX.Text = exitX.ToString();
             tbExitY.Text = exitY.ToString();

             cbAutoRun.IsChecked = bAutoRun;
             tbAutoRunSpeed.Text = runSpeed.ToString();

             //初始化迷宫
             InitMaze();
         }

         //点击开始
         private void btnStart_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
         {
             string msg = "开始走迷宫\n";
             tbLog.AppendText(msg);
             MazeTrack(enterX, enterY);

             //显示最优的路径
             msg = "\n可行路径总条数为" + paths + "\n最优路径为\n";
             tbLog.AppendText(msg);

             foreach (Point pnt in bestPath)
             {
                 msg = "(" + pnt.x + "," + pnt.y + ")";
                 tbLog.AppendText(msg);

                 mazeData[pnt.x, pnt.y] = 2;

             }
             DisplayMaze();
         }

         //下一步
         private void btnNext_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
         {
             string msg = "手动开始走迷宫 暂未实现\n";
             tbLog.AppendText(msg);
         }

     }
 }

参考文献： 《计算机算法设计与分析》（王晓东）

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作者 ：JarvisChu

出处：http://blog.csdn.net/jarvischu