张量概念及基本运算

tensor
一阶张量：vector
二阶张量：matrix 例如用户对电影评价表，每行表示一个用户，每列表示一部电影。矩阵中的值表示评价值。
三阶张量：例如上例中再加一个时间维度。还如用户关注某个主题的名人，每个值为1表示该用户关注了某主题下某个名人。
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传统的方法（例如ICA,PCA、SVD和NMF）对于维数比较高的数据，一般将数据展成二维的数据形式（矩阵）进行处理，这种处理方式使得数据的结构信息丢失(比如说图像的邻域信息丢失),使得求解往往病态。而采用张量对数据进行存储，能够保留数据的结构信息，因此近些年在图像处理以及计算机视觉等领域得到了一些广泛的应用。

基本运算：
1、内积：两个张量对应元素乘机之和。
2、外积：定义张量X∈RI1×I2×…×IN和张量Y∈RJ1×J2×…×JM的外积为:
Z=X∘Y∈RI1×I2×…×IN×J1×J2×…×JM
其中: zi1,i2,…,iN,j1,j2,…,jM=xi1,i2,…,iN∗yj1,j2,…,jM
特别的，两个向量外积得到的结果是一个秩为1的矩阵
三个向量外积得到的结果是一个秩为1的三阶张量

3、kronecter乘积：Kronecker乘积定义在两个矩阵A∈RI×J,B∈RK×L
4、Hadamard乘积(Hadamard Product)
Hadamard 乘积定义在两个相同大小的矩阵A∈RI×J,B∈RI×J上的运算:

张量的分解与补全（用在推荐系统）

上图出处及推荐系统的具体应用解释见此篇

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