线性规划问题建模技巧与求解方法

0 引言

数学规划中最简单的一类问题是线性规划问题，它是整数规划及一些非线性规划问题的求解基础；
本篇就详细讲解下线性规划，问题建模的方法和技巧是最重要的部分会重点讲解，因为在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
文末会用Python和OR-tools工具求解一个线性规划的例子，示范求解工具的使用。

1 定义

由前面一篇《数学建模workflow》已经介绍，优化问题一般包括三个要素：决策变量、目标函数、约束条件；
线性规划是目标函数和约束条件都为线性表达式的数学规划；
线性函数是什么样的呢？
一个函数是线性函数应当是这样的：
$$\begin{gathered} f(X)=A^{T}X+b \\ =\sum _{i=0}^n{a}_i{x}_i+b \end{gathered}$$
其中A为列向量，X为自变量的列向量，b为常量值；

线性规划问题的标准型一般为：
$$minz=\sum _{j=1}^n{c}_j{x}_j\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$\begin{array}{r}s.t.\{\begin{array}{llcc}& f_i(X)& \le 0,i& =1,2,...,m_i\\ & h_k(X)& =0,k& =1,2,...o_k\\ lb\le & x_j& \le ub,j& =1,2,...,n\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，约束条件(2)构成的集合为可行域；如果我们假设可行域为R,R为有限区域且非空时存在有限最优解，R为无限区域时目标函数值无界，R为空集则目标函数无可行解。如果线性规划存在有限最优解，则最优目标函数值在其可行域R的边界上。

2 建模技巧

一些问题建立初步数学模型之后，目标函数和约束往往含有绝对值、最大值、最小值符号等，这种不是线性规划问题，但是通过一些变换技巧依然可以转化成线性规划问题；

2.1 含有绝对值符号的问题

例如规划问题：
$$\begin{array}{rl}& \text{min}\sum _{i=1}^n|x_i|\\ & \text{s.t.}AX\le b\end{array}$$
其中，$X=[x_1,...,x_n{]}^T$,$A$和$b$为相应维数的矩阵和向量。
要把上面的问题变换成线性规划问题，可以根据如下事实：
对任意的$x_i$,存在$u_i,v_i>0$满足
$$\begin{array}{rl}|x_i|& =u_i+v_i\\ x_i& =u_i-v_i\end{array}$$
并且任意地，只要我们取$u_i=\frac{|x_i|+x_i}{2},v_i=\frac{|x_i|-x_i}{2}$就能满足要求。

这样，就可以把问题的初始模型转化为如下线性规划模型：
$$\begin{array}{rl}& \text{min}\sum _{i=1}^n(u_i+v_i)\\ & \text{s.t.}\{\begin{array}{l}A(u-v)\le b\\ u,v\ge 0\end{array}\end{array}$$
其中，$u,=[u_1,...,u_n{]}^T,v=[v_1,...,v_n{]}^T$。

2.2 含有最值符号的问题

例如规划问题：
$${\text{min}}_{x_i}\{{\text{max}}_{y_i}|a_i{x}_i-b_i{y}_i|\},i=1,2,...,n$$
其中，决策变量$x_i,y_i$取任意值,$a_i,b_i$为已知常数。

显然，这个也不是线性规划问题。

对于这个问题，如果我们取
$$z={\text{max}}_{y_i}|a_i{x}_i-b_i{y}_i|$$
此式等价于
$$a_i{x}_i-b_i{y}_i\le z$$
可以标准化为
$$a_i{x}_i-b_i{y}_i-z\le 0$$
则原规划问题转化为如下线性规划问题：
$$\begin{array}{rl}& \text{min}z\\ & \text{s.t.}{a}_i{x}_i-b_i{y}_i-z\le 0,i=1,2,...,n\end{array}$$

3 求解方法

我们以一个完整的例子来说明求解过程。该例子的问题及建模过程已经在之前一篇文章《数学建模workflow》介绍过，这里不再重复建模过程细节，不熟悉的同学请先看那一篇文章。
问题如下：
某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000 元与3000 元。
生产甲机床需用 A、B机器加工，加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时；生产乙机床
需用 A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时
数分别为A 机器10 小时、B 机器8 小时和C 机器7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各
几台，才能使总利润最大？
建立的线性规划模型为：
$$\begin{gathered} maxz=4000x_1+3000x_2 \\ s.t. \\ 2x_1+x_2\le 10 \\ 2x_1+x_2\le 10 \\ {x}_1+x_2\le 8 \\ {x}_2\le 7 \\ {x}_1\ge 0,x_2\ge 0 \end{gathered}$$
我们用Python和OR-tools编程求解上述模型，完整的代码贴在下面,：

from ortools.linear_solver import pywraplp

def main():
    # Select a solver according to the type of your problem.
    solver = pywraplp.Solver(name='SolveSimpleSystem',problem_type=pywraplp.Solver.GLOP_LINEAR_PROGRAMMING)
    # Create the variables
    x1 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), name='x1')
    x2 = solver.NumVar(0, 7, name='x2')
    # create the constraints
    constraint1 = solver.Constraint(-solver.infinity(),10)
    constraint1.SetCoefficient(x1, 2)
    constraint1.SetCoefficient(x2, 1)

    constraint2 = solver.Constraint(-solver.infinity(), 8)
    constraint2.SetCoefficient(x1, 1)
    constraint2.SetCoefficient(x2, 1)

    # Create the objective function
    objective = solver.Objective()
    objective.SetCoefficient(x1,4000)
    objective.SetCoefficient(x2, 3000)
    objective.SetMaximization()
    # Call the solver.
    solver.Solve()
    print('Number of variables =', solver.NumVariables())
    print('Number of constraints =', solver.NumConstraints())
    # The value of each variable in the solution.
    print('Solution:')
    print('x1 = ', x1.solution_value())
    print('x2 = ', x2.solution_value())
    # The objective value of the solution.
    opt_solution = 4 * x1.solution_value() + 3 * x2.solution_value()
    print('Optimal objective value =', opt_solution)

if __name__ == '__main__':
    main()

该代码是覆盖了线性规划中各种表达式的写法，非常具有代表性，仿照此例我们可以写出更复杂的模型的求解程序。程序中已经加了清晰的注释，相信大家不难看懂，就不解释了。
求解的最优方案：

4 参考资料

[1].https://developers.google.cn/optimization/introduction/python