二维三次卷积插值算法

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     生产或生活中，我们往往只能得到有限的关于某个物理量的离散点（比如一张图片，我们只能得到其原大小内每个坐标处的颜色信息），但是很多时候，我们还需要不在已有栅格点的物理量信息（比如图像缩放时）。此时，就需要某种估计方法，用于得到该坐标处的物理量值，此时就需要通过插值得到。常用的插值算法有很多，从简单的线性插值，Lagrange插值，Newton插值，到较复杂的Herminate插值，二维三次卷积插值，分段多项式插值以及样条插值。

     那么在使用时，该如何选择呢？

    一般来说，有两个准则：第一个是要满足精度要求、连续性要求（比如曲面过渡往往要求一阶或者二阶导数连续);第二个是要满足具体使用时的算法复杂度要求。算法本无优劣，须要结合具体情况灵活选择。

    这里介绍一种在图像处理和DEM(Digital Elevation Model)中应用很广的一种插值算法----二维三次卷积插值算法。

    DEM数据是二维数据，对于二维数据，经常使用的插值方法有双线性插值和双立方插值，它们都是在最邻近的四个网点之间进行插值。双线性插值算法简单，但是却无法得到网点处的导数.双立方Herminate插值是四个邻近网点高度的加权和，且方程连接可微。但是该方法的缺点是网点处的微分被强迫为零，虽保证了插值方程的连续性，但是地形在网点处为平面时和直觉矛盾。

    综合考虑算法效率和插值精度，二维三次卷积插值是比较理想的插值方法。

   在处理地形时， 二维三次插值算法是以待插值点周围16个点的高程值来得到它自己的高程值。如下图所示。

     

 

由于该插值方法需要使用未知点周围16个点的数据，当数字地形风格为有限大小时，如果未知点处于风格国家级，就无法得到风格以下的网点数据，因此，需要研究该算法的边界条件。

     Robert G K在《Cubic convolution interpolation for digital image processing》一文中给出了一种较好的边界条件。设

网点在x方向由0到M，在y方向由0到N，则边界条件为

下面是用C++写的二维三次卷积插值的源代码。

     首先是point.h文件

#ifndef POINT_H
#define POINT_H
typedef struct 
{
    float x;
    float y;
    float z;
}Point;
 
#endif

然后是interpolation.h文件

#ifndef INTERPOLATION_h
#define INTERPOLATION_H
#include "Point.h"
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
float getInterpolationHeight(float**,int,int,float,float);
float funA(float);
float funB(float);
float funC(float);
float funD(float);
float getDEMInterpolationHeight(Point**p,float**expandedH,int rowNum,int colNum,float delta,float x,float y);
float**getExpandedH(Point**p,int rowNum,int colNum);
 
 
 
Point**interpolation( Point**p,const int rowNum,const int colNum) //p为传入的二维矩阵。返回的也是二维矩阵，不过是在函数中用new新建的。加上const是为了让p对应的值不能改变。interpolateTimes是插值次数。
{
    Point**dataPoint;
    dataPoint=new Point*[2*rowNum-1];  //新的点阵是(2*rowNum-1)*(2*colNum-1)
    for(int i=0;i<2*rowNum-1;++i)
    {
        dataPoint[i]=new Point[2*colNum-1];
         
    }
    /////////////////////////////对于行号和列号都为偶数的点，它就等于原数组元素。
    for(int i=0;i0&&j=i*delta)&&(x<(i+1)*delta))
        {
            startRow=i;
            break;
        }
         
    }
    for(int j=0;j=j*delta)&&(y<(j+1)*delta))
        {
            startCol=j;
            break;
        }
 
    }
    ///////////////////////////////////////////////最后一行和最后一列要单独考虑。
 
    if(startRow==100000)//说明是最后一行或者是最后一列。
        startRow=rowNum-2;
    if(startCol==100000)
        startCol=colNum-2;
 
    //////////////////////////特别注意下面这个!deltaX要由y和startCol得到，而deltaY要由x和startRow得到。
    deltaX=(y-startCol*delta)/delta; 
    deltaY=(x-startRow*delta)/delta;
     
    if((deltaX==0)&&(deltaY==0))
        return p[startRow][startCol].z;
 
    ////////////////////////////////////////////////////////
    float height;
    height=getInterpolationHeight(expandedH,startRow,startCol,deltaX,deltaY);
    //////////////////////////////////在返回之前，记得将不需要的数组删除。
 
    return height;
}
/////////////////////////////////////////////////
 
 
 
 
 
 
///////////////////////////////////////
float funA(float delta)
{
    float a;
    a=0-pow(delta,3)+2*pow(delta,2)-delta;
    return a;
}
float funB(float delta)
{
    float b;
    b=3*pow(delta,3)-5*pow(delta,2)+2;
    return b;
 
}
float funC(float delta)
{
    float c;
    c=0-3*pow(delta,3)+4*pow(delta,2)+delta;
    return c;
 
}
float funD(float delta)
{
    float d;
    d=pow(delta,3)-pow(delta,2);
    return d;
}
 
#endif

 

下面两张图是插值前后的对比结果（利用图形接口OpenGL进行显示)。