【CG物理模拟系列】流体模拟--粒子法之SPH法的加权函数计算

SPH法中的加权函数

Poly6 kernel[1]

用于密度计算等。由于r只存在于2次项中，可以省去平方根的计算。

梯度为，

拉普拉斯算子为，

如图所示，

右侧坐标为拉普拉斯值

Code Sample

  /*!

 * Poly6 kernel函数值的计算
 * @param[in] r 距离
 * @param[in] h 有效半径
 * @return 函数值
 */inline double RxKernelPoly6(const double &r, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h*h-r*r;
        return 315.0/(64.0*RX_PI*pow(h, 9))*q*q*q;
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}
 
/*!
 * Poly6 kernel梯度值的计算
 * @param[in] r 距离
 * @param[in] rij 相对位置
 * @param[in] h 有效半径
 * @return 梯度值
 */inline Vec3 RxKernelPoly6G(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h)
{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h*h-r*r;
        return -945.0/(32.0*RX_PI*pow(h, 9))*q*q*rij;
    }
    else{
        return Vec3(0.0);
    }
}
 
/*!
 * Poly6 kernel函数拉普拉斯算子的计算
 * @param[in] r 距离
 * @param[in] h 有效半径
 * @return 拉普拉斯值

 */ inline  double RxKernelPoly6L( const  double &r,  const  double &h)

{
    if(r >= 0.0 && r < h){
        double q = h*h-r*r;
        return -945.0/(32.0*RX_PI*pow(h, 9))*(3*q*q-4*r*r*q);
    }
    else{
        return 0.0;
    }
}

h为定值的时候，上式的α部分作为全局变量计算即可。

↑

Spiky kernel[1,2] 

用于计算圧力项。当Poly6 kernel的r=0时，其梯度也为0，把粒子当作是由cluster构成的问题求解即可。

梯度为，

拉普拉斯值为，

[2]的定义为，

如图所示，

右侧轴为拉普拉斯值

Code Sample

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

/*! * Spiky kernel函数值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 函数值 */inline double RxKernelSpiky(const double &r, const double &h) { if(r >= 0.0 && r < h){ double q = h-r; return 15/(RX_PI*pow(h, 6))*q*q*q; } else{ return 0.0; } } /*! * Spiky kernel函数梯度值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] rij 相对位置 * @param[in] h 有效半径 * @return 梯度值 */inline Vec3 RxKernelSpikyG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h) { if(r >= 0.0 && r < h){ double q = h-r; return -45.0/(RX_PI*pow(h, 6))*q*q*rij/r; } else{ return Vec3(0.0); } } /*! * Spiky kernel函数拉普拉斯值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 拉普拉斯值 */inline double RxKernelSpikyL(const double &r, const double &h) { if(r >= 0.0 && r < h){ double q = h-r; return -90.0/(RX_PI*pow(h, 6))*(q*q/r-q); } else{ return 0.0; } }

h为定值的时候，上式的α部分当作全局变量计算即可。

↑

Viscosity kernel[1] 

用于计算粘性扩散项。Laplacian为线性函数。

梯度为，

拉普拉斯算子为，

如图所示，

右侧轴为拉普拉斯值。

Code Sample

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

/*! * Viscosity kernel函数值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 函数值 */inline double RxKernelViscosity(const double &r, const double &h) { if(r >= 0.0 && r < h){ double q = r/h; return 15.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 3))*(-0.5*q*q*q+q*q+0.5/q-1); } else{ return 0.0; } } /*! * Viscosity kernel函数梯度的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] rij 相对位置 * @param[in] h 有效半径 * @return 梯度值 */inline Vec3 RxKernelViscosityG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h) { if(r >= 0.0 && r < h){ double q = r/h; return 15.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(-1.5*q+2-0.5/(q*q*q))*rij; } else{ return Vec3(0.0); } } /*! * Viscosity kernel函数拉普拉斯算子的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return Laplacian值 */inline double RxKernelViscosityL(const double &r, const double &h) { if(r >= 0.0 && r < h){ double q = h-r; return 45.0/(RX_PI*pow(h, 6))*q; } else{ return 0.0; } }

h为定值的时候，上式的α部分作为全局变量计算即可。

↑

Spline kernel[3,4] 

这里，

剃度为，

这里，

拉普拉斯算子为，

这里，

如图所示，

右侧轴为拉普拉斯值。

↑

Super Gaussian kernel[3] 

剃度为，

拉普拉斯算子为i，

如图所示，

右侧轴为拉普拉斯算子的值

コード例

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

/*! * Gaussian kernel函数值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 函数值 */inline double RxKernelSuperGaussian(const double &r, const double &h) { double q = r/h; return 1.0/(pow(RX_PI, 1.5)*pow(h, 3))*(2.5-r*r)*exp(-q*q); //return 1.0/(sqrt(RX_PI)*h)*exp(-q*q); } /*! * Gaussian kernel函数梯度值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] rij 相对距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 梯度值 */inline Vec3 RxKernelSuperGaussianG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h) { double q = r/h; return -2.0/(pow(RX_PI, 1.5)*pow(h, 3))*(1.0+2.5/(h*h)-q*q)*exp(-q*q)*rij; } /*! * Gaussian kernel函数拉普拉斯算子的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 拉普拉斯算子的值 */inline double RxKernelSuperGaussianL(const double &r, const double &h) { double q = r/h; return 2.0/(pow(RX_PI, 1.5)*pow(h, 3))*(2.0*q*q-(1.0+2.5/(h*h)-q*q)*(1.0-2.0*q*q))*exp(-q*q); }

h为定值的时候，上式的α部分作为全局变量计算即可。

↑

Fourth-order weighting function 

梯度函数为，

拉普拉斯算子为，

如图所示，

右侧轴为拉普拉斯值。

コード例

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87

/*! * Fourth-order 加权函数值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 函数值 */inline double RxKernelFourth(const double &r, const double &h) { double q = 3*r/h; if(q >= 0.0 && q < 1.0){ double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q); double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q); double q1 = (1-q)*(1-q)*(1-q)*(1-q)*(1-q); return 9.0/(40.0*RX_PI*pow(h, 3))*(q3-6.0*q2+15.0*q1); } else if(q >= 1.0 && q < 2.0){ double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q); double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q); return 9.0/(40.0*RX_PI*pow(h, 3))*(q3-6.0*q2); } else if(q >= 2.0 && q < 3.0){ double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q); return 9.0/(40.0*RX_PI*pow(h, 3))*(q3); } else{ return 0.0; } } /*! * Fourth-order加权函数梯度值的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] rij 相对位置 * @param[in] h 有效半径 * @return 梯度值 */inline Vec3 RxKernelFourthG(const double &r, const Vec3 &rij, const double &h) { double q = 3*r/h; if(q >= 0.0 && q < 1.0){ double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q); double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q); double q1 = (1-q)*(1-q)*(1-q)*(1-q); return -27.0/(8.0*RX_PI*pow(h, 4))*(q3-6.0*q2+15.0*q1)*rij/r; } else if(q >= 1.0 && q < 2.0){ double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q); double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q)*(2-q); return -27.0/(8.0*RX_PI*pow(h, 4))*(q3-6.0*q2)*rij/r; } else if(q >= 2.0 && q < 3.0){ double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q)*(3-q); return -27.0/(8.0*RX_PI*pow(h, 4))*(q3)*rij/r; } else{ return Vec3(0.0); } } /*! * Fourth-order加权函数拉普拉斯算子的计算 * @param[in] r 距离 * @param[in] h 有效半径 * @return 拉普拉斯算子的值 */inline double RxKernelFourthL(const double &r, const double &h) { double q = 3*r/h; if(q >= 0.0 && q < 1.0){ double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q); double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q); double q1 = (1-q)*(1-q)*(1-q); return 81.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(q3-6.0*q2+15.0*q1); } else if(q >= 1.0 && q < 2.0){ double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q); double q2 = (2-q)*(2-q)*(2-q); return 81.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(q3-6.0*q2); } else if(q >= 2.0 && q < 3.0){ double q3 = (3-q)*(3-q)*(3-q); return 81.0/(2.0*RX_PI*pow(h, 5))*(q3); } else{ return 0.0; } }

h为定值的时候，上式的α部分作为全局变量计算即可。

↑

Kernel函数系数的计算

在SPH法的kernel函数W中，我们假设以下的条件成立。

由此，便可以计算出各kernel函数的系数。以Poly6 kernel函数( )为例。

这里，为所求系数。

在平面空间中，使用有效半径为h的圆积分。 如下图所示，用微小范围 积分。

使其值为1，得出。

2维条件下

下面讨论3维空间的计算。如下图左，以球中心到表面延伸出的锥形内的微小体积做计算。 各边的长为 ,  ,  (图右)， kernel函数的积分计算如下。

带入Poly6 kernel中计算。

的条件下，得出。

3维条件下

↑

参考文献 

[1] Muller et al., Particle-Based Fluid Simulation for Interactive Applications, SCA2003.

[2] Desbrun and Cani, Smoothed Particles: A new paradigm for animating highly deformable bodies, Eurographics Workshop on Computer Animation and Simulation (EGCAS), 1996.

[3] Monaghan, Smoothed particle hydrodynamics, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 30, pp543-574, 1992.

[4] Becker and Teschner, Weakly compressible SPH for free surface flows, SCA2007.