微积分的本质（五）：指数函数求导

我们在高考数学中学过指数函数的求导公式
$$f(x)=a^x$$
$$f^{\prime }(x)=a^x\ln a(a>0,a̸=1)$$
但是这个公式是怎么来的呢？

下面进行推导：

对指数函数$M(t)=C^t$求导，按照微积分的定义，有：

$$\begin{array}{rl}\frac{dM}{dt}(t)& =\frac{M(t+dt)-M(t)}{dt}\\ & =\frac{C^{t+dt}-C^t}{dt}\\ & =\frac{C^t{C}^{dt}-C^t}{dt}\\ & =C^t\frac{C^{dt}-1}{dt}\end{array}$$
其中，无论$C$取什么值，$\frac{C^{dt}-1}{dt}$ 都会非常接近一个常数$k$，尽管我们现在还不知道这个常数是什么，但我们仍然可以将指数函数的导数写成以下公式：
$$\frac{dM}{dt}(t)=k{C}^t$$

能否找到一个常数$C$，使得$k=1$，并且能使得这个指数函数的导数，恰好是这个指数函数本身呢？

接下来引入自然对数$e$，令$C=e$，使得以$e$为底的指数函数$M(t)=e^t$的导数，恰好是它本身，即：
$$M(t)=\frac{dM}{dt}(t)=e^t$$

（PS：自然对数 $e$就是这么定义的。）

根据指数和对数的性质可知：
$$C=e^{\ln C}$$
则
$$C^t=e^{t\ln C}\text{\hspace{1em}(1)}$$
根据复合函数链式求导法则，结合上述对指数函数$M(t)=e^t$的导数为其本身这一性质，有
$$\frac{d(e^{Ct})}{dt}=C{e}^{Ct}\text{\hspace{1em}(2)}$$
根据公式1和公式2，有

$$\begin{array}{rl}\frac{dM}{dt}(t)& =\frac{d(C^t)}{dt}\\ & =\frac{d(e^{t\ln C})}{dt}\\ & =\ln C{e}^{t\ln C}\\ & =\ln C(e^{\ln C}{)}^t\\ & =C^t\ln C\end{array}$$
综上，指数函数$M(t)=C^t$的导数为
$$\frac{dM}{dt}(t)=C^t\ln C$$

---

参考资料： 【官方双语】微积分的本质 - 05 - 指数函数求导