广度优先遍历

广度优先算法

简介

很多问题可以抽象为图的问题，从图中寻找某个点，最通用的办法就是暴力穷举。而广度优先和深度优先是两种常用的遍历图的方法。以一个树状图来说，广度优先就是从根节点开始，一层一层的遍历，下一层的必须等上一层全部遍历完成才可以被访问。而以一个无向图来举例的话，通过下面的图来理解：

topo.png

• S为起点
• 接下来遍历 位于同一层次的A,B,C
• 再接下来遍历下一层次的D

所以顺序为S,A,B,C,D。

详解

那么具体的思路是什么呢？维护一个即将访问的队列，这个队列按层次顺序存放着即将被访问的节点。

• 首先S加入队列Q。

• 访问S，同时将S设置为已经被访问。

• 循环从Q中取出节点：

  • 如果Q为空，则遍历结束。
  • 如果Q不为空，则类似于S，将该节点设置为已经访问。同时将其子节点加入Q进行排队。要观察子节点是否已经被访问或者已经加入了队列Q，否则将出现死循环，或者重复遍历。

用C++实现

用bfs的方法遍历用邻接链表表示的图(这里我用的数据结构为嵌套的vector)：

void BFS(vector> topo) {  //邻接链表
    deque Q;  //即将访问 
    vector P;  //已经访问
    Q.push_back(0);  //加入初始节点
    while (!Q.empty()) {
        int temp = Q.front();
        Q.pop_front();  
        cout << temp << " ";  //取出并访问该节点
        P.push_back(temp);   // 加入已经访问集合
        for (auto each : topo[temp]) {
            if (find(P.begin(), P.end(), each) != P.end()
                || find(Q.begin(), Q.end(), each) != Q.end())  //确保还没有被访问
                continue;
            Q.push_back(each);
        }
    }
}

注意：在添加子节点到Q队列时，要保证子节点没有被访问且还没有在Q队列中。可以使用数组置位O(1)的方法来表示，我这样通过find函数反而浪费了时间。

剪枝和分支限界

BFS实际上是一种暴力的穷举策略，会花费很大的时间，有时候需要通过剪枝和分支限界来减少不必要的访问：

剪枝：在访问某一节点时，发现该节点以及其所有子节点必然不会存在可行最优解，则跳过该节点以及其子节点。这样的优化策略称之为剪枝。

实战

最近刷算法题目，做到POJ-1753。用到了BFS方法。而做具体问题的时候，并不会像我们学习BFS时有一个明显存在着的等待被遍历的图，而是需要自己去构造。有时更像是在遍历一个虚拟的图。

有时候需要遍历的是一个又一个的状态，一个状态可以衍生出几个子状态或者是一个状态可以推到出其它的几个状态，这个时候我们也可以使用BFS，具体方法与遍历图一样，只不过是将从当前状态推到出的状态加入队列Q即可，而避免状态的重复/循环遍历是一个需要着重考虑的问题。