LeetCode刷题（C++）——Maximum Subarray（Easy）

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],

the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

思路：

（1）暴力枚举法：起点i=0...n-1，终点j=i....n-1，然后求和i...j，时间复杂度为O(n^3)

（2）枚举（优化）：起点i=0...n-1，终点j=i...n-1，同时求和i...j，时间复杂度为（O(n^2)

（3）分治法：

     分：将数组分成两个基本等长的子数组，分别求解T(n/2)

     合：跨越中心点的最大子数组（枚举），时间复杂度为O(n)

     总的时间复杂度为O(nlogn)

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector& nums) {
        int n = nums.size();
        if (n==0)
            return 0;
        if (n == 1)
            return nums[0];
        return maxSubArray(nums, 0, n - 1);
    }

    int maxSubArray(vector& nums, int start, int end)
    {
        if (start > end)
            return INT_MIN;
        int n = end-start+1;
        if (n == 1)
            return nums[start];
        int mid = (start+end)>>1;
        //分成两部分：0.....mid   |   mid+1......n-1
        int answer = max(maxSubArray(nums,start,mid-1), maxSubArray(nums,mid+1,end));
        int now = nums[mid], may = now;
        for (int i = mid - 1;i >= 0; i--)
        {
            may = max(may, now += nums[i]);
        }
        now = may;
        for (int i = mid+1;i <= end;i++)
        {
            may = max(may, now +=nums[i]);
        }
        return max(answer, may);
    }
};

（4）利用动态规划思想

     假设dp[i]表示以nums[i]结尾的最大子数组的和

     dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i]，nums[i])

         最大子数组包含nums[i-1]：dp[i-1]+nums[i]

         最大子数组不包含nums[i-1]：nums[i]

         两者当中取最大值

     初值dp[0]=nums[0]

     最大子数组的和为dp[0]...dp[n-1]中最大者

     时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector& nums) {
        int n=nums.size();
        vector dp(n);
        dp[0]=nums[0];
        int answer = dp[0];
        for(int i=1; i

同时还可以对dp进行空间优化：使得空间复杂度为O(1)，用一个变量endHere来存储目前最大的子数组和

     endHere = max(endHere+nums[i],nums[i])          //  等号左边的endHere相当于dp[i]，等号右边的相当于dp[i-1]

     answer = max(endHere,answer)

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector& nums) {
        int n=nums.size();
        int endHere = nums[0];
        int answer = nums[0];
        for(int i=1; i

（5）线性枚举

     定义sum[i]=nums[0]+nums[1]+....+nums[i]；  i>=0

     则对于i...j的和：nums[i]+nums[i+1]+...+nums[j]=sum[j]-sum[i-1]

     对于当前的sum[j]，当sum[i-1]取最小值时，sum[j]才是最大值，于是我们可以用一个变量来记录sum的最小值

     时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector& nums) {
        int n=nums.size();
        int sum = nums[0];
        int minSum = min(sum,0);
        int answer = nums[0];
        for(int i=1; i

(6) 从头到尾，只需要遍历一遍数组，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)

设置一个变量subSum记录nums[i]之前子数组和,最大子数组记为sum

当subSum<=0时，subSum+nums[i]<=nums[i]，此时令subSum=nums[i]，

当subSum>0时，subSum+nums[i]>nums[i]

比较:sum = max(sum,subSum)

最后返回sum

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector& nums) {
        int n=nums.size();
        if(n==0)
            return 0;
        int subSum = 0;
        int sum = INT_MIN;
        for(int i=0; i