扩展卡尔曼滤波EKF与多传感器融合

Extended Kalman Filter（扩展卡尔曼滤波）是卡尔曼滤波的非线性版本。在状态转移方程确定的情况下，EKF已经成为了非线性系统状态估计的事实标准。本文将简要介绍EKF，并介绍其在无人驾驶多传感器融合上的应用。

KF与EKF

本文假定读者已熟悉KF，若不熟悉请参考卡尔曼滤波简介。

KF与EKF的区别如下：

1. 预测未来： x′=Fx+u 用 x′=f(x,u) 代替；其余 F 用 Fj 代替。
2. 修正当下：将状态映射到测量的 Hx′ 用 h(x′) 代替；其余 H 用 Hj 代替。

其中，非线性函数 f(x,u)，h(x′) 用非线性得到了更精准的状态预测值、映射后的测量值；线性变换 Fj，Hj 通过线性变换使得变换后的 x，z 仍满足高斯分布的假设。

Fj，Hj 计算方式如下：

Fjb=∂f(x,u)∂x=∂h(x′)∂x

为什么要用EKF

KF的假设之一就是高斯分布的 x 预测后仍服从高斯分布，高斯分布的 x 变换到测量空间后仍服从高斯分布。可是，假如 F、H 是非线性变换，那么上述条件则不成立。

将非线性系统线性化

既然非线性系统不行，那么很自然的解决思路就是将非线性系统线性化。

对于一维系统，采用泰勒一阶展开即可得到：

f(x)≈f(μ)+∂f(μ)∂x(x−μ)

对于多维系统，仍旧采用泰勒一阶展开即可得到：

T(x)≈f(a)+(x−a)TDf(a)

其中， Df(a) 是Jacobian矩阵。

多传感器融合

lidar与radar

本文将以汽车跟踪为例，目标是知道汽车时刻的状态 x=(px,py,vx,vy) 。已知的传感器有lidar、radar。

• lidar：笛卡尔坐标系。可检测到位置，没有速度信息。其测量值 z=(px,py) 。
• radar：极坐标系。可检测到距离，角度，速度信息，但是精度较低。其测量值 z=(ρ,ϕ,ρ˙) ，图示如下。

传感器融合步骤

步骤图如上所示，包括：

1. 收到第一个测量值，对状态 x 进行初始化。
2. 预测未来
3. 修正当下

初始化

初始化，指在收到第一个测量值后，对状态 x 进行初始化。初始化如下，同时加上对时间的更新。

对于radar来说，

⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢10000100⎤⎦⎥⎥⎥⎥[pxpy]

对于radar来说，

⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢ρcosϕρsinϕρ˙cosϕρ˙sinϕ⎤⎦⎥⎥⎥⎥

预测未来

预测主要涉及的公式是：

x′P′=Fx=FPFT+Q

需要求解的有三个变量： F、P、Q 。

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F 表明了系统的状态如何改变，这里仅考虑线性系统，F易得：

Fx=⎡⎣⎢⎢⎢⎢10000100dt0100dt01⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥

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P 表明了系统状态的不确定性程度，用 x 的协方差表示，这里自己指定为：

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢1000010000100000001000⎤⎦⎥⎥⎥⎥

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Q 表明了 x′=Fx 未能刻画的其他外界干扰。本例子使用线性模型，因此加速度变成了干扰项。 x′=Fx 中未衡量的额外项目 v 为：

v=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢axdt22aydt22axdtaydt⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢dt220dt00dt220dt⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥[axay]=Ga

v 服从高斯分布 N(0,Q) 。

Q=E[vvT]=E[GaaTGT]=GE[aaT]GT=G[σ2ax00σ2ay]GT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢dt44σ2ax0dt32σ2ax00dt44σ2ay0dt32σ2aydt32σ2ax0dt2σ2ax00dt32σ2ay0dt2σ2ay⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

修正当下

lidar

lidar使用了KF。修正当下这里牵涉到的公式主要是：

ySKx′P′=z−Hx=HPHT+R=PHTS−1=x+Ky=(I−KH)P

需要求解的有两个变量： H、R 。

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H 表示了状态空间到测量空间的映射。

Hx=[10010000]⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥

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R 表示了测量值的不确定度，一般由传感器的厂家提供，这里lidar参考如下：

Rlaser=[0.0225000.0225]

radar

radar使用了EKF。修正当下这里牵涉到的公式主要是：

ySKx′P′=z−f(x)=HjPHTj+R=PHTjS−1=x+Ky=(I−KHj)P

区别与上面lidar的主要有：

1. 状态空间到测量空间的非线性映射 f(x)
2. 非线性映射线性化后的Jacob矩阵
3. radar的 Rradar

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状态空间到测量空间的非线性映射 f(x) 如下

f(x)=⎡⎣⎢⎢ρϕρ˙⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢p2x+p2y‾‾‾‾‾‾‾√arctanpypxpxvx+pyvyp2x+p2y‾‾‾‾‾‾‾√⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

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非线性映射线性化后的Jacob矩阵 Hj

Hj=∂f(x)∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂ρ∂px∂ϕ∂px∂ρ˙∂px∂ρ∂py∂ϕ∂py∂ρ˙∂py∂ρ∂vx∂ϕ∂vx∂ρ˙∂vx∂ρ∂vy∂ϕ∂vy∂ρ˙∂vy⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

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R 表示了测量值的不确定度，一般由传感器的厂家提供，这里radar参考如下：

Rlaser=⎡⎣⎢⎢0.090000.00090000.09⎤⎦⎥⎥

传感器融合实例

多传感器融合的示例如下，需要注意的有：

1. lidar和radar的预测部分是完全相同的
2. lidar和radar的参数更新部分是不同的，不同的原因是不同传感器收到的测量值是不同的
3. 当收到lidar或radar的测量值，依次执行预测、更新步骤
4. 当同时收到lidar和radar的测量值，依次执行预测、更新1、更新2步骤

多传感器融合的效果如下图所示，红点和蓝点分别表示radar和lidar的测量位置，绿点代表了EKF经过多传感器融合后获取到的测量位置，取得了较低的RMSE。