[图形学] 布料仿真（质点弹簧模型）

参考：http://www.paulsprojects.net/opengl/cloth/cloth.html

写给我的室友：

        布料仿真的常用方法就是将布料表达为三维网格，然后通过弹力+外力进行布料仿真。它在游戏中有着广泛的应用，如衣袖的摆动，旗帜的飘动；此外，也可以用于模拟试衣等。

模型初始化

        在质点弹簧模型中，整个布料由网格点表达，而点与点之间的连线，我们称之为弹簧。

        布料一个点的位置是由它周围的12个点控制的。其中8个是相邻点，另外4个是隔点的邻接点。

        

        对于弹簧而言，存在三种弹簧，一种是结构弹簧，一种是剪切弹簧，还有一种是弯曲弹簧。它们分别与上图12根弹簧对应。

        其中，结构弹簧模拟的是横向的力，为了阻止布料在横向产生较大的拉压变形。

        剪切弹簧同理，是为了阻止布料在斜向产生较大的拉压变形。

       而弯曲弹簧连接了两个相隔的点，它主要作用是在布料发生弯曲形变的时候，阻止它的过度弯曲，导致布料的角一下子坍塌。这个系数有时候也可以不考虑。

        在具体的代码实现中，我们初始化点的位置、速度（初始化为0），质量（设为统一的值），以及是否固定（固定后将不受外力，即重力）。

        接下来，执行六个循环，来初始化弹簧，对应于上图，可以避免重复边计算。对于弹簧，我们需要指定两个端点，弹性系数（所有的弹簧都一样），初始长度（跟位置有关，上下左右为1，斜边为根号2，红色边为2）

	//The first (gridSize-1)*gridSize springs go from one ball to the next,
	//excluding those on the right hand edge
	for(int i=0; iball1=i*gridSize+j;
			currentSpring->ball2=i*gridSize+j+1;

			currentSpring->springConstant=springConstant;
			currentSpring->naturalLength=naturalLength;
			
			++currentSpring;
		}
	}

	//The next (gridSize-1)*gridSize springs go from one ball to the one below,
	//excluding those on the bottom edge
	for(int i=0; iball1=i*gridSize+j;
			currentSpring->ball2=(i+1)*gridSize+j;

			currentSpring->springConstant=springConstant;
			currentSpring->naturalLength=naturalLength;
			
			++currentSpring;
		}
	}

	//The next (gridSize-1)*(gridSize-1) go from a ball to the one below and right
	//excluding those on the bottom or right
	for(int i=0; iball1=i*gridSize+j;
			currentSpring->ball2=(i+1)*gridSize+j+1;

			currentSpring->springConstant=springConstant;
			currentSpring->naturalLength=naturalLength*sqrt(2.0f);
			
			++currentSpring;
		}
	}

	//The next (gridSize-1)*(gridSize-1) go from a ball to the one below and left
	//excluding those on the bottom or right
	for(int i=0; iball1=i*gridSize+j;
			currentSpring->ball2=(i+1)*gridSize+j-1;

			currentSpring->springConstant=springConstant;
			currentSpring->naturalLength=naturalLength*sqrt(2.0f);
			
			++currentSpring;
		}
	}

	//The first (gridSize-2)*gridSize springs go from one ball to the next but one,
	//excluding those on or next to the right hand edge
	for(int i=0; iball1=i*gridSize+j;
			currentSpring->ball2=i*gridSize+j+2;

			currentSpring->springConstant=springConstant;
			currentSpring->naturalLength=naturalLength*2;
			
			++currentSpring;
		}
	}

	//The next (gridSize-2)*gridSize springs go from one ball to the next but one below,
	//excluding those on or next to the bottom edge
	for(int i=0; iball1=i*gridSize+j;
			currentSpring->ball2=(i+2)*gridSize+j;

			currentSpring->springConstant=springConstant;
			currentSpring->naturalLength=naturalLength*2;
			
			++currentSpring;
		}
	}

加入外力并更新位置

        对于布料，维护两个状态，当前状态和下一状态，每隔10ms，我们根据已知的当前信息，根据公式计算下一状态信息，然后把下一状态转移为当前状态。

        首先，我们计算每根弹簧形变产生的压力。

		//Calculate the tensions in the springs
		//计算弹簧压力
		for(int i=0; i

        在这里使用的公式为 F = k△x。在上面代码中，又除以了自然长度，这是因为对于物理上完全相同的弹簧而言，弹性系数与长度有关，而在这里我们设为相同的，为了抵消这种影响，需要消除这个参数。

        我们需要注意k的选取：如果k太小，布料就会过于柔软，呈现凹陷的状态，而如果k太大，布料会显得过于僵硬。

        如果该点不是固定的，那么需要计算外力。

        对于每个弹簧，我们对它的两个端点加上这个弹簧的弹力以及外力（在这里，外力为重力）。

//Loop through springs
for (int j = 0; j

        得到外力后，我们根据牛顿第二定律计算每个控制点新的位置：

//计算加速度
//Calculate the acceleration
VECTOR3D acceleration = force / currentBalls[i].mass;


//更新速度
//Update velocity
nextBalls[i].velocity = currentBalls[i].velocity + acceleration*
(float)timePassedInSeconds;
//减少速度
//Damp the velocity
nextBalls[i].velocity *= dampFactor;


//Calculate new position
//计算新的位置
nextBalls[i].position = currentBalls[i].position +
(nextBalls[i].velocity + currentBalls[i].velocity)*(float)timePassedInSeconds / 2;

        之后，对球体和地板进行碰撞检测：

//Check against sphere (at origin)
//计算球体
if (nextBalls[i].position.GetSquaredLength()

        最终把下一状态转移到当前状态，并计算新的法线（根据两个矢量的叉积）：

//Calculate the normals on the current balls
for (int i = 0; i

拓展

        以上算法提供了布料模拟的一个基本雏形，在可扩展性上，可以考虑到这些问题：

        1) 没有精确的碰撞检测（包括自身的碰撞建策 和 与外物的碰撞检测）

        2) 布料是纯光滑的，没有考虑到质地(摩擦因子)

        3) 外力较为单一

        4)把布料抽象为面片，没有考虑到厚度