【Python】判断多边形的形状为凸多边形还是凹多边形

凸多边形是一个内部为凸集的简单多边形。凸多边形（Convex Polygon）指如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是优角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。

判断是否为凸多边形的关键在于以一边及其延长线为参照，其他各边是否在此边同旁，也可以转化为其他顶点是否位于此边同旁。观察下图可知，图左的多边形无论是哪两个顶点组成一条边，其余顶点要么都在该边及其延长线的上方，要么都在该边及其延长线的下方，即始终位于同旁，因此可以判断该多边形为凸多边形。而与之形成对比的图右中，则存在顶点位于边及其延长线两侧的情况，图中红圈和绿圈标记的顶点位于直线两侧，因此该多边形为凹多边形。

基于上述分析，我们可以总结出判断凸多边形的思路：

1. 相邻两个顶点组成一条直线，得到该条直线的表达式
2. 计算组成顶点外的其余顶点到1中直线的距离
3. 判断2中的所有距离是否均为相同符号，若为相同符号则为凸多边形，否则为凹多边形

需要特别注意的是，构成多边形的点要按照顺时针或者逆时针的顺序依次排列，其顺序不能有跳跃，否则会造成误判。因此在输入多边形所有顶点坐标前，必须先确保其定点顺序依次排列。

'''
计算直线表达式
:param vertex1: 前一个顶点
:param vertex2: 后一个顶点
:return (type, param): 返回直线的类别及其描述参数
'''
def kb(vertex1, vertex2):
    x1 = vertex1[0]
    y1 = vertex1[1]
    x2 = vertex2[0]
    y2 = vertex2[1]
    
    if x1==x2:
        return (0, x1)      # 0-垂直直线
    if y1==y2:              
        return (1, y1)      # 1-水平直线
    else:
        k = (y1-y2)/(x1-x2)
        b = y1 - k*x1
        return (2, k, b)    # 2-倾斜直线

'''
判断是否为凸多边形
:param vertexes: 构成多边形的所有顶点坐标列表，如[[0，0], [50, 0], [0, 50]]
:return convex: 布尔类型，为True说明该多边形为凸多边形，否则为凹多边形
'''
def isConvex(vertexes):
    # 默认为凸多边形
    convex = True   
    
    # 多边形至少包含三个顶点
    l = len(vertexes)
    if l<3:
        raise ValueError("多边形至少包含三个顶点！")
    
    # 对每两个点组成的直线做判断
    for i in range(l):
        pre = i
        nex = (i+1)%l
        
        # 得到直线
        line = kb(vertexes[pre], vertexes[nex])
        
        # 计算所有点和直线的距离（可能为正也可能为负）
        if line[0]==0:
            offset = [vertex[0]-vertexes[pre][0] for vertex in vertexes]
        elif line[0]==1:
            offset = [vertex[1]-vertexes[pre][1] for vertex in vertexes]
        else:
            k, b = line[1], line[2]
            offset = [k*vertex[0]+b-vertex[1] for vertex in vertexes]
        
        # 计算两两距离的乘积，如果出现负数则存在两个点位于直线两侧，因此为凹多边形
        for o in offset:
            for s in offset:
                if o*s<0:
                    convex = False
                    break
            if convex==False:
                break
                    
        if convex==False:
            break
            
	# 打印判断结果
    if convex==True:
        print("该多边形为凸多边形！")
    else:
        print("该多边形为凹多边形！")
    
    return convex