25行代码实现完整的RSA算法

25行代码实现完整的RSA算法

  python3.X版本的请点击这里25行代码实现完整的RSA算法
  网络上很多关于RSA算法的原理介绍，但是翻来翻去就是没有一个靠谱、让人信服的算法代码实现，即使有代码介绍，也都是直接调用JDK或者Python代码包中的API实现，也有可能并没有把核心放在原理的实现上，而是字符串转数字啦、或者数字转字符串啦、或者即使有代码也都写得特别烂。无形中让人感觉RSA加密算法竟然这么高深，然后就看不下去了。看到了这样的代码我就特别生气，四个字：误人子弟。还有我发现对于“大整数的幂次乘方取模”竟然采用直接计算的幂次的值，再取模，类似于(2 ^ 1024) ^ (2 ^ 1024)，这样的计算就直接去计算了，我不知道各位博主有没有运行他们的代码？？？知道这个数字有多大吗？这么说吧，把全宇宙中的物质都做成硬盘都放不下，更何况你的512M内存的电脑。所以我说他们的代码只可远观而不可亵玩已。
  于是我用了2天时间，没有去参考网上的代码重新开始把RSA算法的代码完全实现了一遍以后发现代码竟然这么少，基本上25行就全部搞定。为了方便整数的计算，我使用了Python语言。为什么用Python？因为Python在数值计算上比较直观，即使没有学习过python的人，也能一眼就看懂了代码。而Java语言需要用到BigInteger类，数值的计算都是用方法调用，所以使用起来比较麻烦。如果有同学对我得代码感兴趣的话，先二话不说，不管3X7=22，把代码粘贴进pydev中运行一遍，是驴是马拉出来溜溜。看不懂可以私信我，我就把代码具体讲讲，如果本文章没有人感兴趣，我就不做讲解了。
  RSA算法的步骤主要有以下几个步骤：
    1、选择 p、q两个超级大的质数 ，都是1024位，显得咱们的程序货真价实。
    2、令n = p * q。取 φ(n) =(p-1) * (q-1)。 计算与n互质的整数的个数。
    3、取 e ∈ 1 < e < φ(n) ，( n , e )作为公钥对，正式环境中取65537。可以打开任意一个被认证过的https证书，都可以看到。
    4、令 ed mod φ(n) = 1，计算d，( n , d ) 作为私钥对。 计算d可以利用扩展欧几里的算法进行计算，非常简单，不超过5行代码就搞定。
    5、销毁 p、q。密文 = 明文 ^ e mod n ， 明文 = 密文 ^ d mod n。利用蒙哥马利方法进行计算，也叫反复平方法，非常简单，不超过10行代码搞定。
    实测：秘钥长度在2048位的时候，我的thinkpad笔记本T440上面、python2.7环境的运行时间是0.035秒，1024位的时候是0.008秒。说明了RSA加密算法的算法复杂度应该是O（N^2），其中n是秘钥长度。不知道能不能优化到O（NlogN）
  代码主要涉及到三个Python可执行文件：计算最大公约数、大整数幂取模算法、公钥私钥生成及加解密。这三个文件构成了RSA算法的核心。
  这个时候很多同学就不干了，说为什么我在网上看到的很多RSA理论都特别多，都分很多个章节，在每个章节中，都有好多个屏幕才能显示完，这么多的理论，想想怎么也得上千行代码才能实现，怎么到了你这里25行就搞定了呢？北门大官人你不会是在糊弄我们把？其实真的没有，我是良心博主，绝对不会糊弄大家，你们看到的理论确实这么多，我也都看过了，我把这些理论用了zip,gzip,hafuman，tar，rar等很多的压缩算法一遍遍地进行压缩，才有了这个微缩版的rsa代码实现，代码虽少，五脏俱全，是你居家旅行，课程设计、忽悠小白、必备良药。其实里边的几乎每一行代码都能写一篇博客专门进行介绍。
  前方高能，我要开始装逼了。看不懂的童鞋请绕道，先去看看理论，具体内容如下：
  1. 计算最大公约数
  2. 超大整数的超大整数次幂取超大整数模算法（好拗口，哈哈，不拗口一点就显示不出这个算法的超级牛逼之处）
  3. 公钥私钥生成

1、计算最大公约数与扩展欧几里得算法

  ***gcd.py***文件，gcd方法用来计算两个整数的最大公约数。ext_gcd是扩展欧几里得方法的计算公式。

# -*- coding: utf-8 -*-

# 求两个数字的最大公约数（欧几里得算法）
def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)

'''
扩展欧几里的算法
计算 ax + by = 1中的x与y的整数解（a与b互质）
'''
def ext_gcd(a, b):
    if b == 0:
        x1 = 1
        y1 = 0
        x = x1
        y = y1
        r = a
        return r, x, y
    else:
        r, x1, y1 = ext_gcd(b, a % b)
        x = y1
        y = x1 - a / b * y1
        return r, x, y

2、大整数幂取模算法

  ***exponentiation.py***文件，主要用于计算超大整数超大次幂然后对超大的整数取模。我在网上查询到这个算法叫做“蒙哥马利算法”。也叫反复平方法。非常简单，具体算法详情请参考这里蒙哥马利算法

# -*- coding: utf-8 -*-

'''
超大整数超大次幂然后对超大的整数取模
(base ^ exponent) mod n
'''
def exp_mode(base, exponent, n):
    bin_array = bin(exponent)[2:][::-1]
    r = len(bin_array)
    base_array = []
    
    pre_base = base
    base_array.append(pre_base)
    
    for _ in range(r - 1):
        next_base = (pre_base * pre_base) % n 
        base_array.append(next_base)
        pre_base = next_base
        
    a_w_b = __multi(base_array, bin_array, n)
    return a_w_b % n

def __multi(array, bin_array, n):
    result = 1
    for index in range(len(array)):
        a = array[index]
        if not int(bin_array[index]):
            continue
        result *= a
        result = result % n # 加快连乘的速度
    return result

  有同学就不服了，说是我为啥不把这个幂次的数字计算出来，再取模。我说这样做，理论上是对的，但是实际上行不通。因为：一个2048位的数字的2048位次的幂，计算出来了以后，这个数字很可能把全宇宙的物质都做成硬盘也放不下。不懂的童鞋请私信我。所以需要用“蒙哥马利算法”进行优化。

3、公钥私钥生成

rsa.py，生成公钥、私钥、并对信息加密解密。
  咱是实在博主，绝对不会弄虚作假，在p和q的选择上，今年过年不选p、q，要选就选1024位。很多博客中在选取p和q的时候都是使用10000以内的质数，象征性地给大家演示一下，把问题说明白，结果在计算的时候就偷懒了，直接把幂次计算出来。这个明显偷懒了，没有把问题说明白。

# -*- coding: utf-8 -*-
from gcd import ext_gcd
from exponentiation import exp_mode

# 生产公钥与私钥的步骤，一共有5个步骤
# 1、选取p、q为两个超大质数
def gen_key(p, q):
    n = p * q                   # 2、令n = p * q。取 φ(n) = (p-1) * (q-1)。
    fy = (p - 1) * (q - 1)      # 计算与n互质的整数个数 欧拉函数
    e = 3889                    # 3、取 e ∈ [1 < e < φ(n) ] ，( n , e )作为公钥对，正式环境中取65537。
    # generate d
    a = e
    b = fy
    r, x, y = ext_gcd(a, b)     # 4、计算ed与fy的模反元素d。令 ed mod φ(n)  = 1，计算d，( n , d ) 作为私钥对。
    print x   # 计算出的x不能是负数，如果是负数，x=x+fy。使x为正数，但是x
    d = x     # 计算出的x的值就是d的值。
    # 返回：   公钥     私钥     
    return    (n, e), (n, d)    # 5、销毁 p、q。生成公钥私钥
    
# 加密 m是被加密的信息 加密成为c
# 密文 = 明文 ^ e mod n
def encrypt(m, pubkey):
    n = pubkey[0]
    e = pubkey[1]
    
    c = exp_mode(m, e, n)
    return c

# 解密 c是密文，解密为明文m
# 明文 = 密文 ^ d mod n
def decrypt(c, selfkey):
    n = selfkey[0]
    d = selfkey[1]
    
    m = exp_mode(c, d, n)
    return m
    
    
if __name__ == "__main__":
    '''公钥私钥中用到的两个大质数p,q，都是1024位'''
    p = 106697219132480173106064317148705638676529121742557567770857687729397446898790451577487723991083173010242416863238099716044775658681981821407922722052778958942891831033512463262741053961681512908218003840408526915629689432111480588966800949428079015682624591636010678691927285321708935076221951173426894836169
    q = 144819424465842307806353672547344125290716753535239658417883828941232509622838692761917211806963011168822281666033695157426515864265527046213326145174398018859056439431422867957079149967592078894410082695714160599647180947207504108618794637872261572262805565517756922288320779308895819726074229154002310375209
    '''生成公钥私钥'''
    pubkey, selfkey = gen_key(p, q)
    '''需要被加密的信息转化成数字，长度小于秘钥n的长度，如果信息长度大于n的长度，那么分段进行加密，分段解密即可。'''
    m = 1356205320457610288745198967657644166379972189839804389074591563666634066646564410685955217825048626066190866536592405966964024022236587593447122392540038493893121248948780525117822889230574978651418075403357439692743398250207060920929117606033490559159560987768768324823011579283223392964454439904542675637683985296529882973798752471233683249209762843835985174607047556306705224118165162905676610067022517682197138138621344578050034245933990790845007906416093198845798901781830868021761765904777531676765131379495584915533823288125255520904108500256867069512326595285549579378834222350197662163243932424184772115345
    '''信息加密，m被加密的信息，c是加密后的信息'''
    c = encrypt(m, pubkey)
    print c
    '''信息解密'''
    d = decrypt(c, selfkey)
    print d

  代码就是这么简单，RSA算法就是这么任性。代码去除掉没用的注释或者引用，总长度不会超过25行，有疑问的我们掰扯掰扯。
  实测：秘钥长度在2048位的时候，我的thinkpad笔记本T440上面、python2.7环境的运行时间是0.035秒，1024位的时候是0.008秒。说明了RSA加密算法的算法复杂度应该是O（N^2），其中n是秘钥长度。不知道能不能优化到O（NlogN）
  最后，觉得代码写得好的，请给我打赏，支付宝微信：18201637201。