广义线性模型Generalized Linear Model (GLM)

这一段主要讲的是广义线性模型的定义和假设,为了看明白逻辑回归,大家要耐着性子看完。


1.The exponential family 指数分布族


因为广义线性模型是围绕指数分布族的,因此需要先介绍,用NG大神的话说就是,“虽然不是全部,但是我们见过的大多数分布都属于指数分布族,比如:Bernoulli伯努利分布、Gaussian高斯分布、multinomial多项分布、Poisson泊松分布、gamma分布、指数分布、Dirichlet分布……”服从指数分布族的条件是概率分布可以写成如下形式:


η 被称作natural parameter,它是指数分布族唯一的参数
T(y) 被称作sufficient statistic,很多情况下T(y)=y a(η) 被称作 log partition function
T函数、a函数、b函数共同确定一种分布
接下来看一下为什么说正态分布(高斯分布)属于指数分布族:
正态分布(正态分布有两个参数μ均值与σ标准差,在做线性回归的时候,我们关心的是均值而标准差不影响模型的学习与参数θ的选择,因此这里将σ设为1便于计算)

广义线性模型Generalized Linear Model (GLM)_第1张图片

2.构成广义线性模型的三个假设

p(y | x; θ) ∼ ExponentialFamily(η). 输出变量基于输入变量的条件概率分布服从指数分布族

  • our goal is to predict the expected value of T(y) given x. 对于给定的输入变量x,学习的目标是预测T(y)的期望值,T(y)经常就是y
  • The natural parameter η and the inputs x are related linearly: η = θT x. η和输入变量x的关联是线性的:η = θT x

这三个假设其实指明了如何从输入变量映射到输出变量与概率模型,举例来说:线性回归的条件概率分布为正态分布属于指数分布族(参考笔记一中线性回归的似然函数部分);我们的目标是预测T(y)的期望,由上面的计算我们知道T(y)=y,而y的期望值也就是正态分布的参数μ;由上面的计算我们知道μ=η,而η=θT x。因此,线性回归是广义线性回归的一个特例,它的模型是:

广义线性模型Generalized Linear Model (GLM)_第2张图片


广义线性模型Generalized Linear Model (GLM)_第3张图片

经典线性回归:预测值y是连续的,假设给定x和参数,y的概率分布服从高斯分布(对应构建GLM的第一条假设)。 逻辑回归:以二分类为例,预测值y是二值的{1,0},假设给定x和参数,y的概率分布服从伯努利分布(对应构建GLM的第一条假设)。

通过这样学习到GLM模型的建立。

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