FM模型的算法思想

本章涉及到的知识点清单：

1、LR模型方程

2、多项式模型方程

3、FM模型方程

4、矩阵分解

5、FM模型化简

6、损失函数

7、目标函数

8、最优化目标函数

9、FM模型的算法步骤

10、案例演示

11、FM模型的优势

一、LR模型方程

对于监督学习，机器学习模型的预测是一个估计函数（映射F）

监督学习

其中属于n维特征向量，即，属于目标值，回归问题中，二分类问题中

我们首先回顾一般的线性回归方程LR，对于输入任意一个n维特征向量，建模估计函数为

LR模型方程

LR模型的参数为：，

从LR模型方程中我们可以看到：

（1）各个特征分量和彼此之间是独立的

（2）将单个特征分量线性的组合起来，却忽略了特征分量彼此之间的相互组合关系

对于特征的组合关系，我们定义：

（1）一阶特征：即单个特征，不产生新特征，如

（2）二阶特征：即两个特征组合产生的新特征，如

（3）高阶特征：即两个以上的特征组合产生的新特征，如

所以LR模型只考虑了一阶特征的线性组合关系

二、多项式模型方程

为了克服模型欠缺二阶特征组合因素，我们将LR模型改写为二阶多项式模型

二阶多项式模型

其中表示两个互异特征组合的二阶特征，表示二阶特征的交叉项系数

至此，该模型似乎已经加入了特征组合的因素，接下来只要学习参数即可

但是，上述二阶多项式模型却有一个致命的缺陷：

数据稀疏性普遍存在的实际应用场景中，二阶特征系数的训练是很困难的

造成学习困难的原因是：

（1）的学习需要大量特征分量和都非零的样本

（2）样本本身是稀疏的，同时满足的样本非常稀少

所以多项式模型虽然加入了二阶特征组合，却受到数据稀疏的影响

三、FM模型方程

为了克服模型无法在稀疏数据场景下学习二阶特征系数，我们需要将表示为另外一种形式

为此，针对样本的第i维特征分量，引入辅助隐向量

辅助隐向量

其中k为超参数，表示特征分量对应一个k维隐向量，则将表示为：

二阶特征系数

上式引入隐向量的含义为：

二阶特征系数等价于：特征分量和对应的隐向量和的内积，这就是FM模型的核心思想

则我们将二阶多项式模型改写为FM模型

FM模型方程

从FM模型方程可知，FM模型的参数为：

FM模型的参数

各个参数的意义为：

（1）表示FM模型的偏置

（2）表示FM模型对一阶特征的建模

（3）表示FM模型对二阶特征的建模

参数的个数为：

模型的复杂度为：

下面我们从数学的角度来分析FM模型方程的可行性

四、矩阵分解

我们引入下面几个矩阵

（1）每个特征对应的隐向量组成的矩阵：

V矩阵

即矩阵的第i行表示：第i维特征的隐向量

则矩阵为：

V矩阵转置

（2）多项式模型的二阶特征系数组成的方阵

多项式模型的W方阵

（3）FM模型的二阶特征系数组成的方阵

FM模型的W方阵

从上面三个矩阵，我们可以看到：

（1）方阵的非对角线上三角的元素，即为多项式模型的二阶特征系数：

（2）方阵的非对角线上三角的元素，即为FM模型的二阶特征系数：

由于，即隐向量矩阵的相乘结果，这是一种矩阵分解的方法

引用线性代数中的结论：

当k足够大时，对于任意对称正定的实矩阵，均存在实矩阵，使得

所以FM模型需要保证的正定性。由于FM只关心互异特征之间的关系（），因此的对角线元素可以任意取值，只需将它们取足够大（保证行元素严格对角占优），就可以保证的正定性

五、FM模型化简

从上述FM模型方程看，模型的复杂度的确是：

不过，数学是奇妙的，我们可以改写模型的二阶项系数项

改写模型的二阶项系数项

对上述化简过程做一些解释：

第1个等号：对称方阵的所有元素之和减去主对角线元素之和

第2个等号：向量内积展开成累加形式

第3个等号：提出公共部分

第4个等号：表示为“和平方”减去“平方和”

带入化简后的表达式，FM模型方程为：

FM模型方程

其中参数个数为：

模型的复杂度为：

可以看到通过数学上的化简，FM模型的复杂度降低到了线性级别

六、损失函数

利用FM模型方程，可以进行各种机器学习预测的任务，如回归、分类和排名等

对于回归问题，损失函数可以取最小平方误差函数

最小平方误差函数

对于分类问题，损失函数可以取logit逻辑函数

logit逻辑函数

七、目标函数

通过损失函数构造出目标函数为

目标函数

其中包含具体的损失函数和估计函数。这里即FM模型方程，损失函数可以带入具体的可导函数（如logit函数）即可

八、最优化目标函数

最优化目标函数，即最优化模型方程的参数，即转化为下面最优化问题

优化目标函数

目标函数对模型参数的偏导数通式为：

目标函数对模型参数的偏导数

对于和或作为损失函数而言，对模型估计函数的偏导数为：

loss对模型估计函数的偏导数

对于FM模型而言，优化的参数为：，则FM模型方程对各个参数的偏导数为：

FM模型方程对参数的偏导数

于是对于FM模型的优化问题，我们可以采用SGD优化目标函数

九、FM模型的算法步骤

（1）初始化模型参数：

（2）遍历每个n维样本

（3）FM方程计算

（4）更新

（5）遍历样本中的每个特征，

（6）更新

（7）遍历的k维隐向量，

（8）更新

十、案例演示

最后我们用python实现FM算法，数据场景为二分类问题

数据场景

损失函数我们使用函数

损失函数

FM模型方程

SGD更新FM模型的参数列表

模型分类结果

十一、FM模型的优势

最后我们总结出FM模型的优势：

（1）FM模型对特征的一阶组合和二阶组合都进行了建模

（2）FM模型通过MF思想，基于K维的Latent Factor Vector，处理因为数据稀疏带来的学习不足问题

（3）FM模型的训练和预测的时间复杂度是线性的

（4）FM模型可以用于DNN的embedding

案例代码见：FM模型的算法思想