密码学读书笔记——3

【公钥密码数论知识】——RSA
对称密码学是不安全的，无法防止对方的直接欺骗。比如对方可以直接用相同密钥加密一个数据，并说这是对方承认的数据。所以一般要使用非对称的加密方法。公钥算法需要正向容易，逆向困难。比如：①整数分解——RSA②离散对数——DH，elgamal，DSA③椭圆曲线：ECDH，ECDSA
数论知识：
欧几里得算法：辗转相除法——最大公约数gcd
gcd（r0,r1）=gcd(r0 mod r1,r1)=…gcd(rl,0)计算效率极高，即使是2^1024位的
整数，计算也只需要1024乘上常数的计算时间。
扩展的欧几里得算法（EEA）：存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。x和y的系数算法思
路为，
ri=si·r0+ti·r1_这是一个迭代的过程
最后一轮：rl=gcd(r0,r1)=sl·r0+tl·r1=s·r0+t·r1
【例子】


【*】重要用途：用来求逆元【包括多项式的逆元】：t就是r1的逆元：t=r1^ mod r0

【欧拉函数】：整数环Zm中与m互素的整数的个数为φ （m）
求解φ（m）在大数下很困难，所以有公式：当m=连乘数 p1^e1*p2e2p3^e3 分解唯一
φ（m）=连乘（pi^ei-piei-1）
如：240=1615=2^4 * 3 5=82*4=64

【费马小定理】a^-1 = a^p-2 （mod p） 用此方法可以很快计算逆元。

欧拉定理 gcd(a,m)=1时，a^φ(m)=1（modp）

【RSA加密算法】
1.随机产生两个大素数数 p ,q
2.计算N = p * q
3.求欧拉数：φ(N) = (p-1)*(q-1)
4.选取与φ(N)互质并1< e < φ(N)的随机数e
5.用欧拉公式求e的逆元d
6.公钥（N,e） 私钥（N,d）
加密过程：
1.加密信息m的ascll m^e ≡ c (mod N) c即为密文
2.解密信息： c^d ≡ m (mod N)
明文=密文^私钥 mod n
密文=明文^公钥 mod n

【加速技术】比如求x的n次方，可以用x^2->x4->x^8这样的优化方法，
高效的执行指数运算x^d mod n；短公开指数。
【寻找大素数】
生成素数的方法：由RNG随机数生成器生成，成为素数
候选者，进行素性测试，随着数字变大，素数会变得稀疏，大数随机到素数概率
大概是1/177
测试素数可以基于费马素性测试（a^（p-1））=1,是p是素数的必要条件，但是有可能
卡迈克数也是满足的
还可以基于Miller-Rabin测试，若p-1=r*2^u r是奇数，若是a^r ≠ 1 mod p，且 a^r2j
≠p-1modp 对于所有j（0~u-1）都成立。它比费马好在他计算的效率高一些，也不用
遇到这么多卡迈克数
【填充】
现代的RSA需要有填充方案，因为明文到密文有特定对应的关系，且具有延展性，
即使攻击者不直接破解RSA算法，他可能可以修改。同时延展性可以使得，利用修改一些
密文内容，来达到修改部分内容的目的，比如金额。
采用填充方案：加密明文前，将一个随机结构嵌入到明文中进而避免上述问题。现在用OAEP，最优非对称填充。
【攻击】
①协议攻击：利用RSA的延展性。
②数学分析：e·d=mod φ(n)
如果能求出欧拉数φ，就可以求出e的逆元d。欧拉数求解的最佳方法就是找到两个素数
而大数分解很难，1024位的大数分解，至今难以破解。
③旁道攻击：功耗跟踪硬件能耗
【能耗】
乘法能耗很大，对称算法一般比公钥算法高1000倍以上，所以用来加密大量数据时，一般用
对称算法