LDA变分法和采样法

目前比较方便的LDA解法是gibbs采样，但是对于改进型LDA，如果分布不再是dirchlet分布，p(z|w)可能就不太好求了（这里z代表隐藏变量，w是观察量），只能用变分法。

LDA变分EM算法

LDA主要完成两个任务，给定现有文档集合D，要确定超参数 α，β 值；或者给一篇新的文档，能够依据前面的超参数来确定隐藏变量 θ，z 分布。其实后面一个任务可以归到前面中，因为前面可以顺带求出隐变量分布。
这里采用模型是比较原始的LDA模型，论文参考blei的2003年论文和“Note 1: Varitional Methods for Latent Dirichlet Allocation”

（这里 β 代表k*v的矩阵，代表一个确定的主题-词分布矩阵）
首先我们想计算出 p(D∣α,β) ，然后用最大似然估计来确定参数。然而发现：
ln(p(D∣α,β))=∑ln(∫p(w,θ,z)dθdz) 显然里面的联合概率很好求，但是积分没法求。所以得寻求其他方案。
可以参见prml书的第九章和第十章，采用EM算法。 ln(p(D∣α,β))=L(q(θ,z),α,β)+KL(q(θ,z)||p(θ,z|D)) 这里把部分依赖\alpha ,\beta省略了。
由于KL>=0，所以L显然是ln(p(D∣α,β))的一个下界。首先让下界最大，即如果模型参数固定，那么左式显然是一个固定的常数，当且仅当KL最小的时候，即q(θ,z)是参数的后验概率时成立。
这里假定q的形式是已知的，变分参数未知，也就是假定： q(θ,z|γ,ϕ)=q(θ|γ)∗q(z|ϕ) ,那么最大化L就可以得到变分参数 γ,ϕ 。这里主要的过程就是求导了。最后的结果是 γ=f(α,β,ϕ) , ϕ=g(α,β,γ) ,对了这里采用固定点迭代的方法求。
上面的这一过程就是E步，即在给定模型参数的情况下试图使下界尽可能大的一个过程，所表现出来的形式就是L函数可以是一个函数关于隐含变量后验期望的表示。
下面介绍M步。即对于前面变分参数确定后，q(\theta,z|\gamma,\phi)已知了，L函数也表示出来了，那么接下来就是使得L函数关于 α,β 最大化。注意前面L最大化针对的是 γ,ϕ ,结果上使得L趋近于ln(p(D∣α,β))；而这里针对 α,β ，结果上是提升ln(p(D∣α,β))，同时KL>0，导致ln(p(D∣α,β))主要变化集中在M步，而且是单调的。然后继续是求导了，详细过程参考前面的文档。
（Note:在E步时，因为推断的是文档相关的变分参数和隐藏变量，而文档之间相互独立，所以可以用一篇文档w代替文档集D；而M步的模型参数是针对全文档集的，因此必须使用D）

LDA的gibbs采样

详细过程参考LDA数学八卦。这里主要做一些补充解释。
以该书推导过程为例，首先gibbs采样前提是假设超参数已知，然后任务是推断隐藏变量分布或者说隐藏变量的期望。也就是实际上估计： p(θ,ϕ,z|D,α,β) 。由于\theta,\phi是多项分布的概率，所以可以依据z和w间的关系统计出来，所以实际上只要估计p(z|D,\alpha,\beta)就可以了，这称之为collapsed的lda gibbs采样。这就是gibbs要采样的概率分布。然后采样到这些样本后，可以直接拿来做平均就得到z的期望；或者统计次数得到其他隐藏变量的期望。
（NOTE:估计参数指得到一个固定的具体的值；估计随机量首先必须要得到该分布，或以概率最大的点MAP代替该随机量；或采样后以期望代替该随机量）