使用SGD(Stochastic Gradient Descent)进行大规模机器学习

1 基于梯度下降的学习 
对于一个简单的机器学习算法，每一个样例包含了一个(x,y)对，其中一个输入x和一个数值输出y。我们考虑损失函数 ,它描述了预测值 和实际值y之间的损失。预测值是我们选择从一函数族F中选择一个以w为参数的函数 的到的预测结果。 
我们的目标是寻找这样的函数 ,能够在训练集中最小化平均损失函数 
 
由于我们不知道数据的真实分布，所以我们通常使用 
 
来代替 
 
经验风险 用来衡量测试集合的效果。期望风险E(f)描述了泛化(generation)的效果，预测未知样例的能力。 
如果函数族F进行足够的限制（sufficiently restrictive 
），统计机器学习理论使用经验风险来代替期望风险。 

1.1 梯度下降 
我们经常使用梯度下降（GD）的方式来最小化期望风险，每一次迭代，基于 更新权重w: 
, 为学习率，如果选择恰当，初始值选择合适，这个算法能够满足线性的收敛。也就是： ,其中 表示残余误差(residual error)。 

基于二阶梯度的比较出名的算法是牛顿法，牛顿法可以达到二次函数的收敛。如果代价函数是二次的，矩阵 是确定的，那么这个算法可以一次迭代达到最优值。如果足够平滑的话， 。但是计算需要计算偏导hession矩阵，对于高维，时间和空间消耗都是非常大的，所以通常采用近似的算法，来避免直接计算hession矩阵,比如BFGS，L-BFGS。 

1.2 随机梯度下降 
SGD是一个重要的简化，每一次迭代中，梯度的估计并不是精确的计算 ,而是基于随即选取的一个样例 : 
 
随机过程  
依赖于每次迭代时随即选择的样例，尽管这个简化的过程引入了一些噪音，但是我们希望他的表现能够和GD的方式一样。 

随机算法不需要记录哪些样例已经在前面的迭代过程中被访问过，有时候随机梯度下降能够直接优化期望风险，因为样例可能是随机从真正的分布中选取的。 

随机梯度算法的收敛性已经在随机近似算法的论文所讨论。收敛性要满足： 
并且  

二阶随机梯度下降： 
 
这种方法并没有减少噪音，也不会对计算 有太大改进。 

1.3 随即梯度的一些例子 
下面列了一些比较经典的机器学习算法的随机梯度，