罗素“杀死了”康托尔

英国数学家罗素提出的著名的“罗素悖论”，直接证明了作为数学大厦基础的“集合论”是有问题的，这也导致了“集合论”的发现者康托尔一次又一次的经历着罗素的劫难却也解决不了这个问题，最终死在了自己工作的哈佛大学精神病院里面。更为严重的是，这引起了对数学的整个基础结构的有效性的置疑，也就是数学史上的第三次危机。

集合理论

集合是什么呢？用康托尔的话说，集合就是把具体的或思想上的一些确定的、彼此不同的对象聚集成的整体。

关于集合的理论是19世纪末开始形成的。当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论。

康托尔

理论影响

虽然康托尔的集合论，在一开始的时候，遭到了强烈的反对。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。

1900 年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱发表了著名演说：“… 借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦…，今天，我们可以说，绝对严格性已达到了…..”

罗素悖论

据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。

罗素

直到1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！

★ 塞尔维亚有一位理发师宣传：他只给所有不给自己理发的人理发，不给那些给自己理发的人理发。问：他要不要给自己理发。

用数学语言来表达就是：

★ S 由一切不是自身元素的集合所组成。罗素问：S 是否属于 S 呢？

多么痛的领悟

罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。

而长期的过度疲劳和激烈的争吵论战，也使得康托尔的精神终于在1884年崩溃，1918年1月6日，他在哈尔精神病医院逝世。

危机影响

第三次数学危机由于涉及到数学的基础，基础不牢，地动山摇，所以说是一次深刻的数学危机。这次危机使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派。