【A Point Set Generation Network for 3D Object Reconstruction from a Single Image】【新loss思想】--- 阅读笔记

论文名称：A Point Set Generation Network for 3D Object Reconstruction from a Single Image
论文作者：Haoqiang Fan, Hao Su, Leonidas Guibas
发行时间：Submitted on 2 Dec 2016 (v1), last revised 7 Dec 2016 (v2)
论文地址：https://arxiv.org/abs/1612.00603
代码开源：无

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1. 点与点之间的衡量指标

本文为了讨论需要提出一种衡量预测的 point cloud 和 GT 之间的损失函数, 该损失函数需要满足如下特性:

1. 在点的位置上是可微的
2. 计算效率高, 能满足数据多次在网络中前传和后传
3. 对少量的离群点也具有较强的鲁棒性

于是提出如下两个衡量指标 Chamfer distance (CD) 和 Earth Mover’s distance (EMD).

1.1. Chamfer distance

首先定义 $S_1,S_2\subseteq {\mathbb{R}}^3$ 之间的 CD: $$d_{CD}(S_1,S_2)=\sum _{x\in S_1}\underset{y\in S_2}{\min }{\Vert x-y\Vert }_2^2+\sum _{y\in S_2}\underset{x\in S_1}{\min }{\Vert x-y\Vert }_2^2$$
其中, $d_{CD}$ 表示两点集之间的"距离"函数, ${\Vert x-y\Vert }_2=(|x_1-y_1{|}^2+|x_2-y_2{|}^2+...+|x_n-y_n{|}^2)$.

而这个$d_{CD}$表示的意思是: 对每个$S_1$内的点，分别求出其到$S_2$的最小距离，再平方求和，然后再对$S_2$做对称的操作.

显然, CD是一个连续可微的连续的方法, 其中每个点之间是独立的, 所以很容易分布计算, 经过实验, CD 产生一个合理的高质量结果.

CD算法会在另一个集合中找到最近的点，并将其距离的平方求和，其特点是能更好的保存物体的详细形状，详见–倒角距离。

1.2. Earth Mover’s distance

首先定义 $S_1,S_2\subseteq {\mathbb{R}}^3$ 且满足大小满足 $s=|S_1|=|S_2|$之间的 EMD: $$d_{EMD}(S_1,S_2)=\underset{\varphi :S_1\to S_2}{\min }\sum _{x\in S_1}{\Vert x-\varphi (x)\Vert }_2$$ 其中, $\varphi :S_1\to S_2$ 表示双射.

这个$d_{EMD}$表示: 两个大小为$n$的点集间连$n$条线，找到使线段长的平方之和的最小值, 所谓$\varphi$就是那个对应关系(连线方法)

该方法可解决优化问题(指派问题). 其对于除了0子集对以外的所有子集对都满足 双射 $\varphi$ 在不断逼近极小值时仍然是唯一且不变的, 其几乎处处可微. 但是实践中该方法的计算资源消耗过大, 故不采取精确计算(近似计算)

EMD算法可以用来测量两个分布之间的距离，能产生相较于CD算法更紧凑的结果，但有时会过度收缩局部结构，详见—EMD距离。