深入理解计算机系统（4）-- 整数和浮点数

整数

二进制到无符号十进制数的表示为

负数的表示

编码：隐匿在计算机软硬件背后的语言(5)--负数的表示

二进制表示负数的值为例如

补码表示

二进制中补码就是对2的补数，例如两位有符号二进制数，10、11、00、01。-1补码是11，01对2的补数=11-01+1=11，所以11就是-1的补码表示；-2对2的补数=11-10+1=10，所以-2的补码表示就是10。最小的负数10看上去就是最大整数01的延伸。这对于多位的二进制或者多进制数都是成立的。

无符号数的加法

无符号加法可以视为一种模运算形式，无符号加法等价于和模上2的w次方。
实际上无符号加法运算会发生溢出。实际应用时，我们可能要判断是否发生溢出。假设位宽为w位，可以通过sx一定成立；如果发生了溢出，那么此时的s=x+y-2^w，由于y<2^w，所以s一定小于x，同理s也一定小于y。

浮点数

先看十进制小数的表示方法。

以上图的十进制小数为例，其数值为

小数点“.”表示权，类似的对于二进制小数

小数点左移表示这个数除以2，右移表示这个数乘以2。其数值为

增加表示二进制小数的位数长度可以增加表示精度。这叫做定点表示。但是这种表示方法是没办法表示非常大的数值的。一般采用IEEE浮点数表示法，

单精度浮点数中，s、exp和frac字段分别为1位、k=8位和n=23位，得到一个32位的表示。
双精度浮点数中，s、exp和frac字段分别为1位、k=11位和n=52位，得到一个64位的表示。如图所示

其中阶码的值决定了这个数是规格化的、非规格化的还是特殊值。

当exp的位模式既不全为0也不全为1，那么它是规格化的浮点数，规格化值是最普遍的情况；此时阶码的值为E=e-Bias，其中e就是阶码域的值，Bias值为，对于单精度为127（阶码域为8位），双精度为1023（阶码域为11位），表示权的偏置值。尾数的值为M=1+f，其中f就是尾数域的值，表示为。

当阶码域全为0时，它表示的就是非规格化的值；此时阶码E=1-Bias，尾数M=f。浮点数+0.0就是一个非规格化数。s为0、E为0（非规格化数）、M=f=0。非规格化数的另外一个功能是表示非常接近于0的数值。

当阶码域全为1时，它表示的是特殊值。比如，尾数域全为0，表示无穷数，s=0则是正无穷，s为1则是负无穷。当尾数域不全为0时，表示“NAN”，不是一个数值。

假设我们现在用6位格式来表示浮点数，其中k=3，n=2，也就是有三位阶码域，两位尾数域。对于规格化数，Bias=3，数值的最大值为0 110 11，E=110（二进制）-3=6-3=3，M=1.11最大数值为1110也就是+14，最小数值为-14。如下图所示

当用8位二进制来表示浮点数，嘉定k=4，n=3，偏置量Bias=8-1=7。三类数的范围取值如下图所示