彻底搞懂红黑树（一）

红黑树和c++ 虚拟继承内存分布 几乎成了我的死敌，因为完全没用过，所以导致每次看懂了之后都忘了（也许不是真的看懂了，有些关键性的东西没理解透），这次准备把这两个难题（其实也不难）仔细看懂，然后再写一份比较详细的文档作为备忘。

 

首先是红黑树

零  八卦起源

 

    1972年，鲁道夫贝尔最先发明，但是他称之为“对称二叉B树”，真正的称之为“红黑树”是在1978年Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick的一篇论文开始的。

红黑树的命名和Xerox PARC也有关系，当时Robert Sedgewick在施乐做访问学者的时候，施乐正好发明出激光彩色打印机，然后觉得这个打印机打出的红色很好看，就用了红色来区分结点的不同，于是就叫红黑树了。 （注：这个数据结构是1972 由 Rudolf Bayer 发明的，叫 "symmetric binary B-tree"）。摘自左耳朵耗子的 微博。

 

 

一  红黑树的定义

算法导论里是这样定义一棵红黑树的：

      1、每个结点或是红色的，或是黑色的
      2、根节点是黑色的
      3、每个叶结点（NIL）是黑色的
      4、如果一个节点是红色的，则它的两个儿子都是黑色的。
      5、对于每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑色结点。

    话说这些性质里面，前四个都很容易理解，但惟独第五个，我是怎么读怎么觉得拗口，原因就是对这个“子孙节点”感到疑惑，这个子孙节点是啥子玩意儿呢?所有的子、孙节点？？？ 如果当前节点是根节点，那么根据定义：子孙节点有相同的黑色节点数，那不是搞笑吗？怎么可能得到呢。后来我看了一下英文版的，发现是这个：descendant leaves，貌似理解为子孙节点也不错哈，但我查了《Introduction to Algorithms》全书，也就这么一处用了descendant leaves，其他地方都是leaves，很显然这里的descendant leaves应该是特指，不应该就泛泛的翻译为子孙节点，而应该是子孙叶节点才对，也就是树最边上的节点啦。这样理解起来也自然，也不会有歧义。然后对照红黑树的图（下图一）一比较，果然是这样。也不晓得是不是自己的语文差了，反正这里顺便鄙视下《算法导论》的翻译吧。也就是说从根节点（如下图 13根节点）到其所有的nil黑节点路径里的黑节点数就是一样的。

 

图一

    好吧，红黑树的性质就理解到这里。也许大家看书的话就会继续往下看了，当然我也是这样的。但是当我读第二遍的时候，我就想为什么这简简单单的5条性质就能让红黑树有如此好的性质。AVL树我还可以理解，毕竟有看得见摸得着的定义和balance代码，但红黑树我就不理解了，因为他的定义是如此的简单，也不可能看到定义就能想象它是如何调整树结构达到动态balance的，搞得我很恼火。我曾经试图搜索下 红黑树本质，但发现没有这方面的信息。o(╯□╰)o，我也只好自己思考下了。

 

 

二  引理

    估计有很多人对书上13.1 引理不是很在意，但是我想说，这正是理解红黑树精髓的地方之一。 这条引理也是红黑树为什么效率这么高的原因。不晓得是语文差还是啥的，我看书上的介绍也没看懂，写得太简洁了，菜鸟看不懂表示很蛋疼。后来在网上看了别人的资料，终于弄懂了。(⊙o⊙)…

 

下面我就仔仔细细的介绍下这条引理到底是怎么得到的。

引理：一棵有n个内结点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)。

    这个引理怎么证明呢，这里需要一个工具  对以x为根的子树，它所包含的内部结点数至少为2^[bh(x)]-1。这里bh(x)（bh嘛，black height）被定义为结点x的黑高度，就是说，从结点x（不包括它本身）到它任一个叶结点的路径上所有黑色结点的个数。 

下面用归纳法证明：

    1)若x高度为0，那么它就是一叶子结点，它确实至少包含2^0-1=0个内部结点

 

    2)假设x为红黑树的某一内部结点，且它高度h>0，那么它的黑高度就是bh(x)，但是它的两个孩子结点呢？这个就根据它们的颜色来判断了：

       如果x有一个红色的孩子y，那么y的黑高度bh(y)=bh(x)，看看上面对黑高度的定义你就明白了——既然它是红色的，那么它的黑高度就应该和它父亲的黑高度是一样的；

       如果x有一个黑色的孩子z，那么z的黑高度bh(z)=bh(x)-1，这个怎么解释呢，因为它自己就是个黑结点，那么在计算它的黑高度时，必须把它自己排除在外（还是根据定义），所以它是bh(x)-1。

 

    3)x的孩子结点所构成的子树的高度肯定小于x这颗子树，那么对于这两个孩子，不管它们颜色如何，一定满足归纳假设的是至少hb 高度为bh(x)-1。所以，对x来说，它所包含的内部结点个数“至少”为两个孩子结点所包含的内部结点数，再加上它自己，于是就为2^[bh(x)-1]-1+2^[bh(x)-1]-1+1=2^[bh(x)]-1，归纳证明完毕。

也就是说n>=2^[bh(x)]-1---------①

 

     把一 中红黑树性质中 4）、5）两个特性结合起来，其实我们可以得到黑节点至少是红节点的2倍。用一句话来说就是“有红必有黑，但有黑未必一定有红”。为什么这么说呢，因为从特性4）我们知道，如果有一个红结点存在，那么它的儿子结点一定是黑的，最极端的情况下，该路径上所有的结点就被红、黑两种结点给平分了那就是黑节点至少是红节点的2倍。不知这个问题我解释清楚没有，因为这是往下理解的关键。

 

    如果一棵红黑树的高为h，那么在这个高度上（不包括根结点本身）至少有1/2h的黑结点，再结合上面对“黑高度”的定义，我们说，红黑树根结点的黑高度至少是1/2h，好了，我们拿出公式①，设n为该红黑树所包含的内部结点数，我们得出如下结论： n>=2^(1/2h)-1。 我们把它整理整理，就得到了h<=2lg(n+1)，就是我们要证明的结论：红黑树的高度最多也就是2lg(n+1)。(⊙o⊙)