线段树详解
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目录
- 前言
- 什么是线段树
- 什么是区间加法
- 线段树的原理及实现
- 储存方式
- 初始化
- 单点修改
- 区间修改
- 懒惰标记
- 相对标记和绝对标记
- 下传标记
- 区间查询
- 指针储存和动态开点
- 扩展及应用
- 权值线段树
- 可持久化线段树（主席树）
- 非递归式线段树
- 储存方式
- 建树
- 单点查询
- 单点修改
- 区间查询
- 后记
前言
这是一篇蒟蒻的博客，可能有许多错误或不详细的地方，欢迎大佬们指出。
这篇文章主要参考了这篇博文：http://blog.csdn.net/zearot/article/details/48299459
什么是线段树
线段树，是一种二叉搜索树。它将一段区间划分为若干单位区间，每一个节点都储存着一个区间。它功能强大，支持区间求和，区间最大值，区间修改，单点修改等操作。
线段树的思想和分治思想很相像。
线段树的每一个节点都储存着一段区间[L…R]的信息，其中叶子节点L=R。它的大致思想是：将一段大区间平均地划分成2个小区间，每一个小区间都再平均分成2个更小区间……以此类推，直到每一个区间的L等于R（这样这个区间仅包含一个节点的信息，无法被划分）。通过对这些区间进行修改、查询，来实现对大区间的修改、查询。
这样一来，每一次修改、查询的时间复杂度都只为 O ( log 2 n ) O(\log_2n) O(log2n)。
但是，可以用线段树维护的问题必须满足区间加法，否则是不可能将大问题划分成子问题来解决的。
什么是区间加法
一个问题满足区间加法，仅当对于区间[L,R]的问题的答案可以由[L,M]和[M+1,R]的答案合并得到。
经典的区间加法问题有：
- 区间求和（ ∑ i = L R a i = ∑ i = L M a i + ∑ i = M + 1 R a i ( L ≤ M < R ) \sum_{i=L}^Ra_i=\sum_{i=L}^Ma_i+\sum_{i=M+1}^Ra_i\space(L\leq M
- 区间最大值（ max i = L R a i = max ( max i = L M a i , max i = M + 1 R a i ) ( L ≤ M < R ) \max_{i=L}^Ra_i=\max(\max_{i=L}^Ma_i,\max_{i=M+1}^Ra_i)\space(L\leq M
不满足区间加法的问题有：
- 区间的众数
- 区间的最长不下降子序列
线段树的原理及实现
注意：如果我没有特别申明的话，这里的询问全部都是区间求和
线段树主要是把一段大区间平均地划分成两段小区间进行维护，再用小区间的值来更新大区间。这样既能保证正确性，又能使时间保持在log级别（因为这棵线段树是平衡的）。也就是说，一个[L…R]的区间会被划分成[L…(L+R)/2]和[(L+R)/2+1…R]这两个小区间进行维护，直到L=R。
下图就是一棵[1…10]的线段树的分解过程（相同颜色的节点在同一层）
可以发现，这棵线段树的最大深度不超过 [ l o g 2 ( n − 1 ) ] + 2 [log_2(n-1)]+2 [log2(n−1)]+2（其中 [ x ] [x] [x]表示对x进行下取整）
由于作者太菜，不会非递归的线段树，所以这里写的都是效率较低、较为常见的递归线段树。
储存方式
通常用的都是堆式储存法，即编号为k的节点的左儿子编号为 k ∗ 2 k*2 k∗2，右儿子编号为 k ∗ 2 + 1 k*2+1 k∗2+1，父节点编号为 k d i v 2 k\space div\space2 k div 2，用位运算优化一下，以上的节点编号就变成了 k < < 1 , k < < 1 ∣ 1 , k > > 1 k<<1,k<<1|1,k>>1 k<<1,k<<1∣1,k>>1。其它储存方式请见指针储存和动态开点。
通常，每一个线段树上的节点储存的都是这几个变量：区间左边界，区间右边界，区间的答案（这里为区间元素之和）
下面是线段树的定义：
struct node
{
int l/*区间左边界*/,r/*区间右边界*/,sum/*区间元素之和*/,lazy/*懒惰标记，下文会提到*/;
node(){l=r=sum=lazy=0;}//给每一个元素赋初值
}a[N];//N为总节点数
inline void update(int k)//更新节点k的sum
{
a[k].sum=a[k*2].sum+a[k*2+1].sum;
//很显然，一段区间的元素和等于它的子区间的元素和
//如果有懒惰标记的话要相应地改变
}
初始化
常见的做法是遍历整棵线段树，给每一个节点赋值，注意要递归到线段树的叶节点才结束。
void build(int k/*当前节点的编号*/,int l/*当前区间的左边界*/,int r/*当前区间的右边界*/)
{
a[k].l=l,a[k].r=r;
if(l==r)//递归到叶节点
{
a[k].sum=number[l];//其中number数组为给定的初值
return;
}
int mid=(l+r)/2;//计算左右子节点的边界
build(k*2,l,mid);//递归到左儿子
build(k*2+1,mid+1,r);//递归到右儿子
update(k);//记得要用左右子区间的值更新该区间的值
}
单点修改
当我们要把下标为k的数字修改（加减乘除、赋值运算等）时，可以直接在根节点往下DFS。如果当前节点的左儿子包含下标为k的数（即对于左儿子区间 [ L l s o n . . R l s o n ] [L_{lson}..R_{lson}] [Llson..Rlson]， L l s o n ≤ k ≤ R r s o n L_{lson}\leq k\leq R_{rson} Llson≤k≤Rrson），那么就走到左儿子，否则走到右儿子（右儿子一定包含下标为k的数，因为根节点一定包含这个数，而从根节点往下走，能到达的点也一定包含这个数），直到L=R。这时就走到了只包含k的那个节点，只需要把这个点修改即可（这个点就相当于线段树中唯一只储存着k的信息的节点）。最后记得在回溯的时候把沿途经过的所有的点的值全部修改一下。
void change(int k/*当前节点的编号*/,int x/*要修改节点的编号*/,int y/*要把编号为x的数字修改成y*/)
{
if(a[k].l==a[k].r){a[k].sum=y;return;}
//如果当前区间只包含一个元素，那么该元素一定就是我们要修改的。
//由于该区间的sum一定等于编号为x的数字，所以直接修改sum就可以了。
int mid=(a[k].l+a[k].r)/2;//计算下一层子区间的左右边界
if(x<=mid) change(k*2,x,y);//递归到左儿子
else change(k*2+1,x,y);//递归到右儿子
update(k);//记得更新点k的值，感谢qq_36228735提出此错误
}
区间修改
其实如果会了单点修改的话，区间修改就不会太难理解了。
区间修改大体可以分为两步：
- 找到区间中全部都是要修改的点的线段树中的区间
- 修改这一段区间的所有点
先来解决第一步：
我们先从根节点出发（根节点一定包含所有的点，包括被修改区间），一直往下走，直到当前区间中的元素全部都是被修改元素。
当左区间包含整个被修改区间时，我们就递归到左区间；
当右区间包含整个被修改区间时，我们就递归到右区间；
否则，情况一定就如下图所示：
怎么办？这种情况似乎有些难了。
不过，通过思考，我们可以发现，被修改区间中的元素间，两两之间都不会产生影响。
所以，我们可以把被修改区间分解成两段，使得其中的一段完全在左区间，另一端完全在右区间。
很明显，直接在mid的位置将该区间切开是最好的。如下图所示：
通过一系列的玄学操作，我们成功地把修改区间分解成一段一段的。但问题来了：我们怎样修改这些区间呢？
最暴力的做法是每一次都像建树一样，遍历区间内的所有节点，一一修改。但是这样的时间复杂度显然 O ( n 2 l o g 2 n ) O(n^2log_2n) O(n2log2n)，比暴力 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)还多了个log，我要这线段树有何用？
这里就要引入一样新的神奇的东西——懒惰标记！
懒惰标记
标记的含义：本区间已经被更新过了，但是子区间却没有被更新过，被更新的信息是什么（区间求和只用记录有没有被访问过，而区间加减乘除等多种操作的问题则要记录进行的是哪一种操作）
这里再引入两个很重要的东西：相对标记和绝对标记。
相对标记和绝对标记
相对标记指的是可以共存的标记，且打标记的顺序与答案无关，即标记可以叠加。 比如说给一段区间中的所有数字都+a，我们就可以把标记叠加一下，比如上一次打了一个+1的标记，这一次要给这一段区间+2，那么就把+1的标记变成+3。
绝对标记是指不可以共存的标记，每一次都要先把标记下传，再给当前节点打上新的标记。这些标记不能改变次序，否则会出错。 比如说给一段区间的数字重新赋值，或是给一段区间进行多种操作。
有了懒惰标记这种神奇的东西，我们区间修改时就可以偷一下懒，先修改当前节点，然后直接把信息挂在节点上就可以了！
如下面这棵线段树，当我们要修改区间[1…4]，将元素赋值为1时，我们可以先找到所有的整个区间都要被修改的节点，显然是储存区间[1…3]和[4…4]的这两个节点。我们就可以先把[1…3]的sum改为3（ ( 3 − 1 + 1 ) ∗ 1 = 3 (3-1+1)*1=3 (3−1+1)∗1=3）,把[4…4]的sum改为1（ ( 1 − 1 + 1 ) ∗ 1 = 1 (1-1+1)*1=1 (1−1+1)∗1=1）然后给它们打上值为1的懒惰标记，然后就可以了。
这样一来，我们每一次修改区间时只要找到目标区间就可以了，不用再向下递归到叶节点。
下面是区间+x的代码：
void changeSegment(int k,int l,int r,int x)
//当前到了编号为k的节点，要把[l..r]区间中的所有元素的值+x
{
if(a[k].l==l&&a[k].r==r)//如果找到了全部元素都要被修改的区间
{
a[k].sum+=(r-l+1)*x;
//更新该区间的sum
a[k].lazy+=x;return;
//懒惰标记叠加
}
int mid=(a[k].l+a[k].r)/2;
if(r<=mid) changeSegment(k*2,l,r,x);
//如果被修改区间完全在左区间
else if(l>mid) changeSegment(k*2+1,l,r,x);
//如果被修改区间完全在右区间
else changeSegment(k*2,l,mid,x),changeSegment(k*2+1,mid+1,r,x);
//如果都不在，就要把修改区间分解成两块，分别往左右区间递归
update(k);
//记得更新点k的值
}
请注意：某些题目的懒惰标记属于绝对标记（如维护区间平方和），一定要先下传标记，再向下递归。
下传标记
碰到相对标记这种容易欺负的小朋友，我们只用打一下懒惰标记就可以了。
但是，遇到绝对标记，或是下文提到的区间查询，简单地打上懒惰标记就明显GG了。毕竟，懒惰标记只是简单地在节点挂上一个信息而已，遇到复杂的情况可是不行的啊！
于是，懒惰标记的下传操作就诞生了。
顾名思义，下传标记就是把一个节点的懒惰标记传给它的左右儿子，再把该节点的懒惰标记删去。
我们先来回顾一下标记的含义：
标记的含义：本区间已经被更新过了，但是子区间却没有被更新过，被更新的信息是什么
显然，父区间是包含子区间的，也就是对于父区间的标记和子区间是有联系的。在大多数情况下，父区间和子区间的标记是相同的。因此，我们可以由父区间的标记推算出子区间应当是什么标记。
注意：以下所说的问题都是指区间赋值，除非有什么特别的申明。
如果要给一个节点中的所有元素重新赋值为x，那么它的儿子也必定要被赋值成x。所以，我们直接在子节点处修改sum值，再把子节点的标记改变一下就可以了（由于区间赋值要用绝对标记，因此当子节点已经有标记时，要先下传子节点的标记，再下传该节点的标记。但是区间赋值会覆盖掉子节点的值，因此在这个问题中，直接修改标记就可以了）
区间+x代码如下：
void pushdown(int k)//将点k的懒惰标记下传
{
if(a[k].l==a[k].r){a[k].lazy=0;return;}
//如果节点k已经是叶节点了，没有子节点，那么标记就不用下传，直接删除就可以了
a[k*2].sum=(a[k*2].r-a[k*2].l+1)*a[k].lazy;
a[k*2+1].sum=(a[k*2+1].r-a[k*2+1].l+1)*a[k].lazy;
//给k的子节点重新赋值
a[k*2].lazy+=a[k].lazy;
a[k*2+1].lazy+=a[k].lazy;
//下传点k的标记
a[k].lazy=0;//记得清空点k的标记
}
那么区间赋值就很容易解决了。我们直接修改当前节点的sum，再打上标记就可以了。在大多数问题中，我们要先下传当前节点的标记，再打上标记。但由于这个问题的特殊性，我们就不用先下传标记了。
区间查询
上面我们很轻松地解决了修改的问题，于是我们就维护了一个完整的在线线段树了。但是光有维护是没用的，我们还要处理询问的问题。最常见的莫过于区间查询了，如询问区间[l…r]中所有数的和。
这其实和区间修改是类似的。我们也分类讨论：
当查找区间在当前区间的左子区间时，递归到左子区间；
当查找区间在当前区间的右子区间时，递归到右子区间；
否则，这个区间一定是跨越两个子区间的，我们就把它切成2块，分在两个子区间查询。最后把答案合起来处理就可以了（如查询区间和时就把两块区间的和加起来，查询最大值时就返回两块区间的最大值）
最后强调一个细节：记得在查询之前下传标记！！！
下面贴上查询区间和的代码：
int query(int k,int l,int r)
//当前到了编号为k的节点，查询[l..r]的和
{
if(a[k].lazy) pushdown(k);
//如果当前节点被打上了懒惰标记，那么就把这个标记下传，这一句其实也可以放在下一语句的后面
if(a[k].l==l&&a[k].r==r) return a[k].sum;
//如果当前区间就是询问区间，完全重合，那么显然可以直接返回
int mid=(a[k].l+a[k].r)/2;
if(r<=mid) return query(k*2,l,r);
//如果询问区间包含在左子区间中
if(l>mid) return query(k*2+1,l,r);
//如果询问区间包含在右子区间中
return query(k*2,l,mid)+query(k*2+1,mid+1,r);
//如果询问区间跨越两个子区间
}
指针储存和动态开点
上面我们用的都是堆式储存法。这种方法能快速地找出当前节点的父节点、子节点，但节点数很多，而无用节点也较多时就没有用了。我们可以用指针储存和动态开点解决这个问题。当然，大佬们也可以用离散化解决问题。
这其实就是用指针额外记录当前节点的子节点（有时可能还要记录父节点），且要用到节点时才新建节点。这样能大大地节省空间。
下面是结构体的定义：
struct node
{
int l/*区间左边界*/,r/*区间右边界*/,sum/*区间元素之和*/,lazy/*懒惰标记，下文会提到*/;
node *lson/*左儿子*/,*rson/*右儿子*/;
//这两个指针初始值为NULL，当儿子指针为NULL时表明它没有值
node(){l=r=sum=lazy=0;lson=rson=NULL;}//给每一个元素赋初值
};
node *root=new node;//根节点
inline void setroot()//根节点初始化
{
root->l=1,root->r=n;
}
inline void update(node *k)//更新节点k的sum
{
k->sum=0;
if(k->lson) k.sum+=k->lson->sum;
if(k->rson) k.sum+=k->rson->sum;
//注意要判断左右子节点是否存在
}
单点修改：
void change(node *k/*当前节点*/,int x/*要修改节点的编号*/,int y/*要把编号为x的数字修改成y*/)
{
if(k->l==k->r){k->sum=y;return;}
//如果当前区间只包含一个元素，那么该元素一定就是我们要修改的。
//由于该区间的sum一定等于编号为x的数字，所以直接修改sum就可以了。
int mid=(k->l+k->r)/2;//计算下一层子区间的左右边界
if(x<=mid)
{
if(!k->lson)//如果左儿子不存在，就新建一个
{
k->lson=new node;
k->lson->l=k->l;
k->lson->r=mid;
}
change(k->lson,x,y);//递归到左儿子
}
else
{
if(!k->rson)//如果右儿子不存在，就新建一个
{
k->rson=new node;
k->rson->l=mid+1;
k->rson->r=k->r;
}
change(k->rson,x,y);//递归到右儿子
}
}
其他操作相应地改一下就可以了，这里留给读者自己思考。
P.S：
提示一下：询问操作并不用新建节点。
其实动态开点不一定要用指针，也可以先开一个节点数组，每次新建节点时给它分配一个下标。不过个人觉得用指针方便一些。
扩展及应用
权值线段树
权值线段树其实就相当于一个桶，它维护了每一个数的出现次数。它可以解决许多问题（废话）。
下面就来看一道我脑补的题目（大佬勿喷）：
给你一个长度为n的数组a，以及m个操作，每一个询问的格式为[x,l,r]，x=1表示查询数组中值在区间[l…r]中的元素的和，x=2表示将第 l 个数加r。每个数的取值范围： 0 ≤ a i ≤ 1 0 6 , n ≤ 2 ∗ 1 0 4 0\leq a_i\leq 10^6,n\leq 2*10^4 0≤ai≤106,n≤2∗104
这题显然可以用权值线段树做，其中线段树中区间[l…r]维护的是数值 l ≤ a i ≤ r l\leq a_i\leq r l≤ai≤r的 a i a_i ai的个数。由于节点数较多，要用动态开点。然后到了修改操作的时候，我们就把第 l 个数所对应的值单点修改（在权值线段树中将所对应的位置的值减一），再把第 r 个位置的值加一。
这其实就相当于一个桶，很好理解的。
可持久化线段树（主席树）
主席树其实就是给线段树记录了历史版本。
给你一个长度为n的数组a，以及m个询问，每一个询问的格式为[l,r,k]，表示查询区间[l…r]中第k大的数。
碰到这种情况，排序什么的就无能为力了。这就要用到主席树了。
我们可以开n棵权值线段树，第 i 棵表示1~i中每一个数出现的次数（先不要担心空间的问题）。这种方法其实类似于前缀和，询问时把第 r 棵线段树减去第 l-1 棵线段树（对应位置的值相减），再在得出的线段树中查找第k大的数。
假设现在的数列是{2,4,1}，离散化为{2,3,1}。
那么这几棵线段树就会长成这个样子（壮观）：
观察这个图，可以发现有不少信息相同的子树，我们可以把它们合并：
这就是主席树。
思路很简单，如果第 i 棵线段树的某子树和第 i-1 棵的那一个子树相同，那么就不用新建子树了，两棵线段树共用一个子树。在不用记录子树的父节点的情况下，这种方法是可行的。
观察上图，发现每一棵线段树都只有一条从根到底的路径是新建的，其余全部都是由以前的线段树得到的。因此我们可以证明这种方法能极大地优化空间。
还有一点比较坑的，在查询区间[l…r]的时候，我们不用把第r棵线段树的所有节点减去第l-1棵线段树的所有节点，一边递归一边减就可以了。最后用减出来的结果判断一下，看一看接下来递归到哪一个儿子即可。
但万一要需要修改怎么办？可以用类似于树状数组的方法，这里留给读者思考。其实是我不会
下面给出jzoj.1011的标程
#include非递归式线段树
非递归式线段树（ZKW线段树，张昆玮线段树），是清华大学的张昆玮在ppt《统计的力量》中提出的。
这种线段树最大的特点就是很重口味不用递归实现，因此常熟小、且码量不长，便于调试和卡常数。
它之所以与普通线段树不同，主要是因为它是一颗自底到根的线段树。
总的来说，它相对于线段树而言，主要有以下优缺点：
- 常数（时间）更小
- 代码长度更短
- 调试复杂度更低
- 空间更小
- 学习难度更低
- 解决复杂问题的难度更低（如区间修改）
储存方式
ZKW线段树采用的是堆式储存法，上文已经有所提及了。但是ZKW线段树与普通线段树的堆式储存又有点不同——它是一棵满二叉树，以方便定位叶节点的位置。
也就是说，它无论如何都要开到2的幂次这么大，因此ZKW线段树的空间就是 2 ⌈ log 2 n ⌉ + 1 − 1 2^{\lceil\log_2n\rceil+1}-1 2⌈log2n⌉+1−1。为什么要+1、-1？因为线段树除了储存最基础信息的 2 ⌈ log 2 n ⌉ 2^{\lceil\log_2n\rceil} 2⌈log2n⌉个叶节点外，还要有 2 ⌈ log 2 n ⌉ − 1 2^{\lceil\log_2n\rceil}-1 2⌈log2n⌉−1个管理左右子节点的父节点；而且有k层的线段树大小是 2 k − 1 2^k-1 2k−1的。
总的来说，zkw线段树长得还是很像一棵普通的线段树的。
建树
可以定义M表示最后一层的叶节点数，显然 M ≥ n M\geq n M≥n，非叶节点有M-1个。但是我们在区间修改时，需要多2个节点0和n+1（实际上可以证明n+1是没有必要的），因此 M ≥ n + 1 M\geq n+1 M≥n+1，第 i 个叶节点编号就为M+i。
那么程序就好写了：
inline void build()
{
for(M=1;M<=n;M<<=1);//计算M的值，注意M>=n+1
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&max[M+i]);//输入叶节点的值
for(int i=M-1;i;i--) max[i]=mymax(max[i<<1],max[i<<1|1]);
//更新所有非叶节点的值，此处以最大值为例
}
单点查询
接下来就可以解决一个小怪——单点查询了。
显然，如果我们要查询第 i 个数的话，直接输出线段树中M+i号节点的值就可以了。
时间复杂度是 O ( 1 ) O(1) O(1)，和普通线段树的 O ( log 2 n ) O(\log_2n) O(log2n)对比起来，顿感高大上！
inline int qry_single(int k)
{
return max[M+k];
}
单点修改
在听说小弟单点查询被秒杀后，小哥单点修改前来骂阵。
和单点查询一样，我们先修改线段树中M+i号节点。
很明显，我们修改了一个节点后，只会影响到它到根节点的那一条路径上的点。
这样的时间复杂度也变成了 O ( log 2 M ) O(\log_2M) O(log2M)了，似乎与普通线段树一般了。但是我们的常数还是相当优越的——几乎整整小了一倍！
下面例行贴代码：
inline void change_single(int x,int y)//把第x个节点改成y
{
max[x+=M]=y;
while(x>>=1) max[x]=mymax(max[x<<1],max[x<<1|1]);
}
区间查询
只派出这两个小弟骚扰我们显然太容易被应付了。因此，毒瘤出题者们想起了区间查询。
我们在普通线段树中，是从根到底地走，碰到被询问区间完全包含的节点就返回这个节点的值。但是我们在循环中无法像递归那样分成2段走，难道我们伟大的卡常数事业就要就此终结了吗？
未完待续……有时间再写吧
后记
此博客中的脑残错误比较多，若各位读者有发现，欢迎指出，以免误人子弟