质因数分解算法

每个 合数 都可以写成几个 质数 相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质 因数 。 如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数。

质因数 （或 质因子 ）在数论里是指能整除给定正整数的质数。 两个没有共同质因子的正整数称为 互质 。因 为1没有质因子， 1 与任何正整数（包括1本身）都是互质 。 正整数的 因数分解 可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以 指数 表示。根据 算术基本定理 ， 任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。 只有一个质因子的正整数为质数。就是一个数的约数，并且是质数，比如8=2×2×2，2就是8的质因数。12=2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子以12=2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。16=2×2×2×2,2就是16的质因数， 把一个 合数 写成几个质数相乘的形式表示，这也是 分解 质因数 。分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数 。分解质因数的有两种表示方法，除了大家最常用知道的“短除分解法”之外，还有一种方法就是“塔形分解法”。分解质因数对解决一些自然数和乘积的问题有很大的帮助，同时又为求最大公约数和最小公倍数做了重要的铺垫。

计算方法
短除法
求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式的叫 短除法 ，和除法的性质差不多，还可以用来求多个个数的 公因式 ：求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。求几个数最大 公因数 的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看，12与18都有公约数2和3，而它们的乘积2×3=6，就是 12与18的最大公约数。采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除，则更容易找出公约数和最大公约数。从短除中不难看出，12与18都有公约数2和3，它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的约数都要算出，其它无此约数的数则原样落下。最后把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数。

John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为O（n^(1/4)）。
分解质因数代码：
将一个正整数分解质因数。例如：输入90,打印出90=2*3*3*5。 
程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成：  
(1)如果这个质数恰等于n，则说明分解质因数的过程已经结束，打印出即可。 
(2)如果n<>k，但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商,作为新的正整数你n, 
重复执行第一步。 
(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值,重复执行第一步。

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