考研数学之高等数学知识点整理——11.常微分方程与差分方程

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十一、常微分方程与差分方程

1 一阶微分方程

1.1 变量可分离微分方程

• 定义
  $$f_1(x)g_1(y)\mathrm{d}x+f_2(x)g_2(y)\mathrm{d}y=0$$
  

• 通解
  两边同除$f_2(x)g_1(y)$，再两边积分，可得通解为：
  $$\int \frac{f_1(x)}{f_2(x)}\mathrm{d}x=-\int \frac{g_2(y)}{g_1(y)}\mathrm{d}y+C$$
  

1.2 齐次微分方程

• 定义
  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=F(\frac{y}{x})$$
  

• 通解
  令$u=\frac{y}{x}$，将方程化为变量可分离微分方程
  $$x\mathrm{d}u-[F(u)-u]\mathrm{d}x=0$$
  再使用变量分离法进行求解
  

1.3 一阶齐次线性微分方程

• 定义
  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0$$
  

• 通解
  $$y=C{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$$
  

1.4 一阶非齐次线性微分方程

• 定义
  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$$
  

• 通解
  $$y=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}[\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]$$
  

1.5 伯努利微分方程

• 定义
  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n，(n̸=0,1)$$
  

• 通解
  令$z=y^{1-n}$，方程可化为
  $$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$
  再利用线性方程的方法求解
  

1.6 全微分方程

• 定义
  $$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0，且\frac{\partial P}{\partial y}\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}$$
  

• 通解
  $${\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)\mathrm{d}x+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)\mathrm{d}y=C$$
  

2 可降阶的高阶微分方程

2.1 $y^{(n)}=f(x)$型

通过n次积分可得到一般解(通解)。

2.2 $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$型(方程中不显含y)

令$y^{\prime }=p(x)$，则$y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$，代入原方程可得$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=f(x,p)$，变为关于x的一阶方程。

2.3 $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$型(方程中不显含x)

令$y^{\prime }=p(y)$，则$y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，即$y^{\prime \prime }=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$，代入原方程可得$p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p)$，变为关于p,y的一阶方程。

3 二阶线性微分方程

二阶线性微分方程的一般形式为
$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)①$$
当f(x)=0时，方程化为
$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0②$$
称为对应的齐次方程

• 定理 1
  设y₁(x),y₂(x)是②的两个线性无关的特解(即y₁(x)≠ky₂(x))，则y=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)是②的通解，其中C₁，C₂是任意常数。
  

• 定理 2
  设y^*(x)是①的特解，Y(x)是②的通解，那么$y=y^{\ast }(x)+Y(x)$是①的通解。
  

• 定理 3
  设y₁(x),y₂(x)是①的两个不同的特解，则$y=y_1(x)-y_2(x)$是②的一个特解
  

• 定理 4 (叠加原理)
  设y₁(x),y₂(x)分别是方程$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_1(x)$，$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_2(x)$的特解，则$y=y_1(x)+y_2(x)$是方程$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$的特解。
  

4 二阶常系数线性微分方程

4.1 二阶常系数齐次线性微分方程

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0，(p,q\in R)$$
特征方程：
$$r^2+pr+q=0$$
特征方程的两个根为r₁，r₂，则
① 若r₁≠r₂为两个实根，则通解为$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$；
② 若r₁=r₂，则通解为$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}$；
③ 若r_1,2=α±iβ，则通解为$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$；

4.2 二阶常系数非齐次线性微分方程

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)，(p,q\in R)$$

• $f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$
  特解：$y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}{Q}_m(x)$
  其中，$Q_m(x)$与$P_m(x)$是同次多项式，k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根、是特征方程的重根依次取为0、1、2。
  

• $f(x)=e^{\lambda x}[p_l(x)\cos \omega x+p_n(x)\sin \omega x]$
  特解：$y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos \omega x+R_m^{(2)}(x)\sin \omega x]$
  其中，$R_m^{(1)}(x)$与$R_m^{(2)}(x)$是m次多项式，m=max{l,n}，k按λ+iω(或λ-iω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1。
  

5 n阶常系数齐次线性微分方程

$$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+\cdot \cdot \cdot +p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=0$$
特征方程：
$${\lambda }^n+p_1{\lambda }^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +p_{n-1}\lambda +p_n=0$$
① 当特征根r是单根时，通解中对应的项为$C{e}^{rx}$；
② 当特征根是一对单复根r_1,2=α±iβ时，通解中对应的项为$e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$；
③ 当特征根是k重实根r(k为正整数)时，通解中对应的项为$(C_1+C_{2}x+\cdot \cdot \cdot +C_k{x}^{k-1})e^{rx}$
④ 当特征根是一对k重复根r_1,2=α±iβ时，通解中对应的项为$e^{\alpha x}[(C_1+C_{2}x+\cdot \cdot \cdot +C_k{x}^{k-1})\cos \beta x+(D_1+D_{2}x+\cdot \cdot \cdot +D_k{x}^{k-1})\sin \beta x]$。

6 欧拉方程

$$x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdot \cdot \cdot +p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y=f(x)$$
令x=e^t，将方程转化为常系数方程来求解

7 差分方程

7.1 差分

• 定义
  设函数y_t=y(t)，称改变量y_t+1-y_t为函数y_t的差分，也称为函数y_t的一阶差分。
  记为△y_t，即△y_t=y_t+1-y_t，一阶差分的差分称为二阶差分△²y_t，即
  $${△}^2{y}_t=△(△y_t)=△y_{t+1}-△y_t=y_{t+2}-2y_{t+1}+y_t$$
  

7.2 差分方程

• 定义 1
  含有未知函数y_t的差分的方程称为差分方程，差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶。
  

• 定义 2
  满足差分方程的函数称为该差分方程的解，如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该差分方程的通解。
  

7.3 齐次差分方程

$$y_{t+1}+a{y}_t=0$$
通解为：$y_t=C(-a{)}^t$

7.4 非齐次差分方程

$$y_{t+1}+a{y}_t=f(t)$$

• f(t)=b为常数
  通解为：$y_t=\{\begin{array}{ll}C(-a{)}^t+\frac{b}{1+a}，& a̸=-1\\ C+bt，& a=-1\end{array}$
  

• f(t)为一般情况
  通解为：$y_t=C(-a{)}^t+\sum _{k=0}^{t-1}(-a{)}^{k}f(t-k-1)$