考研数学之高等数学知识点整理——13.多元函数微分学

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十三、多元函数微分学

1 多元函数偏导数和全微分的概念

1.1 偏导数

设z=f(x,y)，则偏导数定义为：
$$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{△x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+△x,y_0)-f(x_0,y_0)}{△x}$$
$$f_y^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{△y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+△y)-f(x_0,y_0)}{△y}$$

1.2 全微分

若$△z=f(x_0+△x,y_0+△y)-f(x_0,y_0)=A△x+B△y+o(\rho )$，其中$\rho =\sqrt{(△x{)}^2+(△y{)}^2}$，则称f(x,y)在点(x₀,y₀)处可微，且A△x+B△y称为z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的全微分，记为dz，即dz=A△x+B△y，而且，f’_x(x₀,y₀)=A，f’_y(x₀,y₀)=B。

1.3 可微的必要条件

如果z=f(x,y)在点(x₀,y₀)可微，则在点(x₀,y₀)处的两个偏导数f’_x(x₀,y₀)，f’_y(x₀,y₀)都存在，并且全微分表达式中的A，B为
$$A=f_x^{\prime }(x_0,y_0),B=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$$

1.4 可微的充分条件

• 定理
  如果f(x,y)的两个偏导数f’_x(x,y)，f’_y(x,y)在点(x₀,y₀)连续，则必在点(x₀,y₀)处可微。
  

2 多元函数几个概念间的关系

偏导数连续$\Rightarrow$函数可微$\Rightarrow \{\begin{array}{l}函数连续\\ 偏导数存在\end{array}$

3 方向导数和梯度

3.1 方向导数

z=f(x,y)沿l的方向导数为
$$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cos \beta$$

3.2 梯度

u=f(x,y,z)在P(x,y,z)的梯度为
$$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f(x,y,z)=\{\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\}=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k$$

4 二元函数的泰勒公式

设z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某一邻域内有直到三阶的连续偏导数，(x₀+h,y₀+k)为此邻域内任一点，则z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的二阶泰勒公式为
$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y})f(x_0,y_0)+\frac{1}{2!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}{)}^{2}f(x_0,y_0)+\frac{1}{3!}(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}{)}^{3}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)，(0<\theta <1)$

5 多元函数的极值和条件极值

5.1 二元函数极值

• 定义
  设函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)的某邻域内有定义，如果对该邻域内的任何异于(x₀,y₀)的点(x,y)，都有不等式f(x,y)0,y₀)(f(x,y)>f(x₀,y₀))，则称函数有极大值f(x₀,y₀)(极小值f(x₀,y₀))。极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。
  

• 定理
  设z=f(x,y)在点(x₀,y₀)取得极值，且f(x,y)在点(x₀,y₀)存在偏导数，则必有$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0$，$f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$。
  

• 定理
  设f(x,y)在点(x₀,y₀)具有连续二阶偏导数，并设(x₀,y₀)是f(x,y)的驻点，记$A=f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$，$B=f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$，$A=f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$，则
  当$B^2-AC<0,A>0$时，$f(x_0,y_0)$为极小值；
  当$B^2-AC<0,A<0$时，$f(x_0,y_0)$为极大值；
  当$B^2-AC>0$时，$f(x_0,y_0)$不是极值；
  当$B^2-AC=0$时，$f(x_0,y_0)$不能确定是否为极值；
  

5.2 条件极值

5.2.1 一个约束条件的极值

求z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值。

1. 构造拉格朗日函数$F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$；
2. 将F(x,y,λ)分别对x,y,λ求偏导数，构造下列方程组：
   $\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }=f_x^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y)=0,\\ F_y^{\prime }=f_y^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y)=0,\\ F_{\lambda }^{\prime }=\phi (x,y)=0,\end{array}$
   解出(x,y)，这是可能极值点的坐标；
3. 判定上述点是否为极值点，如果是，求出该点的函数值f(x,y)。
   

5.2.2 两个约束条件的极值

求u=f(x,y,z)在条件φ₁(x,y,z)=0，φ₂(x,y,z)=0下的极值。

1. 构造拉格朗日函数$F(x,y,z,\lambda ,\mu )=f(x,y,z)+\lambda {\phi }_1(x,y,z)+\mu {\phi }_2(x,y,z)$；
2. 将F(x,y,z,λ,μ)分别对x,y,z,λ,μ求偏导数，构造下列方程组：
   $\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }=f_x^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_{1x}^{\prime }(x,y,z)+\mu {\phi }_{2x}^{\prime }(x,y,z)=0,\\ F_y^{\prime }=f_y^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_{1y}^{\prime }(x,y,z)+\mu {\phi }_{2y}^{\prime }(x,y,z)=0,\\ F_z^{\prime }=f_z^{\prime }(x,y,z)+\lambda {\phi }_{1z}^{\prime }(x,y,z)+\mu {\phi }_{2z}^{\prime }(x,y,z)=0,\\ F_{\lambda }^{\prime }={\phi }_1(x,y,z)=0,\\ F_{\mu }^{\prime }={\phi }_2(x,y,z)=0,\end{array}$
   解出(x,y,z)，这是可能极值点的坐标；
3. 判定上述点是否为极值点，如果是，求出该点的函数值f(x,y,z)。
   

6 复合函数微分法

• 定理
  设函数z=f(u,v)可微，u=u(x,y)，v=v(x,y)具有一阶偏导数，并且它们可以构成z关于(x,y)在某区域D内的复合函数，则在D内有复合函数求导法则
  $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$
  $$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$$
  

7 隐函数求导法

• 定理 (二元隐函数存在定理)
  设函数F(x,y,z)在点P₀(x₀,y₀,z₀)的某邻域内有连续偏导数，并且F(x₀,y₀,z₀)=0，F’_z(x₀,y₀,z₀)≠0，则方程F(x,y,z)=0在点P₀(x₀,y₀,z₀)的某一邻域内恒能确定唯一的连续函数z=f(x,y)，满足

  • $z_0=f(x_0,y_0)$
  • $F(x,y,f(x,y))\equiv 0$
  • $z=f(x,y)$具有连续偏导数，且
    $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^{\prime }(x,y,z)}{F_z^{\prime }(x,y,z)},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^{\prime }(x,y,z)}{F_z^{\prime }(x,y,z)}$
    

• 定理
  设函数F(x,y,u,v)，G(x,y,u,v)在点P₀(x₀,y₀,u₀,v₀)的某邻域内有连续偏导数，又F(x₀,y₀,u₀,v₀)=0，G(x₀,y₀,u₀,v₀)=0，且$\left|\begin{array}{cc}{F}_u^{\prime }& F_v^{\prime }\\ G_u^{\prime }& G_v^{\prime }\end{array}\right|̸=0$，则方程组$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}$在点P₀(x₀,y₀,u₀,v₀)的某一邻域内恒能确定唯一的一组连续函数u=u(x,y)，v=v(x,y)，满足

  • $u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)$
  • $F(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0,G(x,y,u(x,y),v(x,y))\equiv 0$
  • $u=u(x,y),v=v(x,y)$具有连续偏导数，且
    $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_v^{\prime }& F_x^{\prime }\\ G_v^{\prime }& G_x^{\prime }\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u^{\prime }& F_v^{\prime }\\ G_u^{\prime }& G_v^{\prime }\end{array}\right|},\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_v^{\prime }& F_y^{\prime }\\ G_v^{\prime }& G_y^{\prime }\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u^{\prime }& F_v^{\prime }\\ G_u^{\prime }& G_v^{\prime }\end{array}\right|}$$
    $$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_x^{\prime }& F_u^{\prime }\\ G_x^{\prime }& G_u^{\prime }\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u^{\prime }& F_v^{\prime }\\ G_u^{\prime }& G_v^{\prime }\end{array}\right|},\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\left|\begin{array}{cc}{F}_y^{\prime }& F_u^{\prime }\\ G_y^{\prime }& G_u^{\prime }\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{F}_u^{\prime }& F_v^{\prime }\\ G_u^{\prime }& G_v^{\prime }\end{array}\right|}$$