杂记——可能是最通俗易懂的快速幂

看到一道很简单的求整数次幂的题目，但是看到讨论区有用快速幂做的，我居然不知道这是什么？于是学之，记之（其实这玩意在大一的计算机导论里面提到过）

什么是快速幂

快速幂是一种简化运算底数的n次幂的算法，理论上其时间复杂度为 O(log₂N)， 而一般的朴素算法则需要O(N)的时间复杂度。简单来说快速幂其实就是抽取了指数中的2的n次幂，将其转换为时间复杂度为O(1)的二进制移位运算，所以相应地，时间复杂度降低为O(log₂N)。

具体思路

首先以$b^{13}$为例
可以把指数13用二进制表示，即为1101，将二进制数字1101直观地表现为十进制则是如下的等式：
$13=1\ast 2^3+1\ast 2^2+0\ast 2^1+1\ast 2^0$

这样一来，要求的结果可以如下算出：
$b^{13}=b^{2^3}\ast b^{2^2}\ast b^{2^0}$ 或者 $b^{13}=b^{2^3}\ast b^{2^2}\ast (0\ast b^{2^1})\ast b^{2^0}$(把0补上便于理解)
四个项对应1101

如果更加直观地展现为快速幂的思想，应该这样写（实际上就是换了个写法然后把顺序也调换了一下，看不懂的可以复习下高一数学）：
$b^1\ast {(b^2)}^2\ast {({(b^2)}^2)}^2$ 或者$b^1\ast (0\ast b^2)\ast {(b^2)}^2\ast {({(b^2)}^2)}^2$ (把0补上便于理解)
四个项1011（从右边读起，程序中每次循环了右移一位，并且读取末位）

这样一来，递归的模子就有了，代码也就不难写出来了，java代码：

public int testPosition(int base,int exponent) {
        int result = 1=;
        while (exponent!=0) {
            if ((exponent & 1)!=0) {
                result *= base;
            }
            base *= base;
            exponent >>= 1;
        }
        return result;
    }

写完，告辞！