求最大公约数的欧几里德算法(Euclid's Algorithm)
求最大公约数的欧几里德算法(Euclid's Algorithm)
算法主要基于两条规则：
1.If b|a then gcd(a, b) = b.
2.If a = bt + r, for integers t and r, then gcd(a, b) = gcd(b, r).
定理gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
例如：Let a = 2322, b = 654.
2322 = 654*3 + 360 gcd(2322, 654) = gcd(654, 360)
654 = 360*1 + 294 gcd(654, 360) = gcd(360, 294)
360 = 294*1 + 66 gcd(360, 294) = gcd(294, 66)
294 = 66*4 + 30 gcd(294, 66) = gcd(66, 30)
66 = 30*2 + 6 gcd(66, 30) = gcd(30, 6)
30 = 6*5 gcd(30, 6) = 6
所以, gcd(2322,654) = 6.
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，
/*-----------------------------------------------------------------
// Computes and returns the greatest common divisor of the two
// positive parameters. Uses Euclid's algorithm.
//Euclid_test.java
-----------------------------------------------------------------*/
public class Euclid_test{
private static int gcd (int num1, int num2){
while (num1 != num2)
if (num1 > num2)
num1 = num1 - num2;
else
num2 = num2 - num1;
return num1;
}
public static void main(String[] args){
Integer B = new Integer(args[0]);
Integer C = new Integer(args[1]);
int b=B.intValue();
int c=C.intValue();
int a=gcd(b,c);
System.out.printf("The inputed numbers:"+b+"and"+c+"/n");
System.out.printf("The greatest common measure is"+a+"/n");
}
}
/*++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
//javac Euclid_test.java
//java Euclid_test 2322 654
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++*/
推论1：对于（a，b）存在两个整数s和t使得a*s+b*t=gcd(a,b)
（例如2322×20＋654×（－71）＝6）用Eulen（a，b）表示（a，b）的
Euclidean algorithm 的步长，则Eulen(2322, 654) = 6，Eulen(30, 6) = 1
证明：1）假设，a>b,如果Eulen(a,b)=1,即a=b*u,u是整数，则
a+(1-u)*b=b=gcd(a,b).让s=1,t=1-u.得证。
2）假设推论对所有的Eulen（a，b）
Eulen（b，r）＝n-1.有归纳假设，存在这样得x,y，使得
b*x+r*y=gcd(b,r)=gcd(a,b).最后，b*(x-u*y)+a*y=gcd(a,b)
其中s=x-u*y,t=y.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
推论2：对于互质的两个数a和b，存在这样得s和t使得a*s+b*t=1,这个推论也非
常重要，
推论3：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1
（对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆
元。）