l1范数最小化快速算法

1：解决的问题模型如下：

或者约束条件可以适当的松弛，即为如下模型：

当然约束条件取 l2 范数， b 数据获取的比较准确，结果逼近的效果更好，防止过拟合。如果取 l1 范数，则是获取的 b 数据，受到污染比较严重。并且 b 本身就是稀疏的。这也是人的经验对于模型的成功也是很重要的。
2：几类优化算法
(1)梯度投影算法Gradient Projection Methods
原问题可以变为如下问题：

下面介绍两种方法对其进行处理。
i)上式又等价于：

所以就有如下记号和约定：

更新 zk 时沿着负梯度的方向下降最快。但是只是局部最小值。

其中 ak 是步长，可以用线搜索的方法来确定最优步长。
下介绍第二种方法 truncated Newton interior-point method.
ii)上式又等价于：

利用内点法的把约束条件给罚到目标函数上去。
在这里我们对约束条件利用logarithmic barrier函数进行改写。

在这里，我们可以看到当 xi 越接近 ui或者−ui 的时候，函数值会变得越大。当 xi 无限趋近于 ui或者−ui 时，则函数值无限趋于无穷大。所以只有当 xi 趋近于0时候，函数值才趋近于一个常数。
所以上式可以等价于如下模型：

然后利用牛顿算法进行求解计算。

(2)迭代阈值收缩算法 Iterative Shrinkage-Thresholding Methods
对于一般的模型：

其中：

对 f(x) 二次近似。则问题转变成如下：

可以适用迭代阈值算法。关于l_{1}范数最优化的迭代阈值算法的证明可以参见我的另一篇博客

(3)近端梯度算法 Proximal gradient method
其处理的模型如下：

其中 f(x) 是连续可微的，微分函数满足利普希茨条件成立：

其中 L 相当于代替 f(x) 的二阶偏导。
那么可以进行如下算法来解决问题：

说明：
第一步的更新：按照 f(x) 沿着负梯度的方向下降最快
第二步的更新：有数值解，进行软阈值操作。
(4)交替方向法 Alternating Direction Methods
其实利用的是拉格朗日算法，来进行更新出来。解决的模型如下：

其拉格朗日函数如下：

问题变为分别最小化 x,e,y 。
说明：
更新 e 时，固定 x,y ，直接求导， e 有数值解。
更新 x 时，固定 e,y 经过化简，可以运用软阈值进行操作计算。
更新 y 时，固定 x,e ，直接求导， y 有数值解。

Fast ℓ 1-minimization algorithms and an application in robust face recognition