泊松融合笔记

参考书籍

张恭庆. 变分学讲义[M]. 北京：高等教育出版社, 2011.
Pérez, Patrick, Gangnet M , Blake A . Poisson image editing[J]. ACM Transactions on Graphics, 2003, 22(3):313.

1. 使用的引理
   引理2.1 （du Bois-Reymond）若$\psi \in C[t_0,t_1]$，且
   $${\int }_J\psi (t)\cdot \dot{\lambda }(t)dt=0,\forall \lambda \in C_0^1(J)，$$
   其中$C_0^1(J)=\left\{u\in C^1(J)|u(t_0)=u(t_1)=0\right\}$，则$\psi =const$。

2. 主要公式推导
   原问题的等价形式
   $$\Delta f=\nabla \cdot v(x,y)=div(v(x,y)),\forall (x,y)\in \Omega ,withf{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }=f^{\ast }{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }$$
   其中$\mathcal{R}\subset R^2$ 表示背景图像区域，$v(x,y)=(\frac{\partial I(x,y)}{\partial x},\frac{\partial I(x,y)}{\partial y})$是前景图片合并前的梯度，$f:R^2\to R$，表示合并后在$\Omega$区域的灰度值函数，在目标区域的梯度要尽量接近合并前前景图片的梯度，$f^{\ast }$表示合并后在$\Omega$区域之外的灰度值函数，在边界处灰度连续，即$f{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }=f^{\ast }{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }$。
   记
   $$F(f)=\left\{{\int }_{\Omega }||\nabla f-v|{|}^{2}dx\right\},s.t.f{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }=f^{\ast }{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }$$,
   定义$S_0=\left\{g\in {\mathcal{C}}^2(\mathcal{R})|g{|}_{\partial \Omega }=0\right\}$
   根据单变量函数求极值的条件得到
   $$\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{F(f+ϵg)-F(f)}{ϵ}=0,\forall g\in S_0$$
   将上式展开
   $$\begin{array}{rl}0& =\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{1}{ϵ}\left\{{\int }_{\Omega }||\nabla (f+ϵg)-v|{|}^2-||\nabla (f)-v|{|}^{2}dt\right\}\\ & =\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{1}{ϵ}\left\{{\int }_{\Omega }(2ϵ\nabla g\cdot (\nabla f-v)+{ϵ}^2||\nabla g|{|}^2)dt\right\}\\ & ={\int }_{\Omega }(2\nabla g\cdot (\nabla f-v))dx\\ & ={\int }_{\Omega }\sum _{i=1}^3(2(\nabla g{)}_i\cdot (\nabla f-v{)}_i)dx\end{array}$$
   由引理可得
   $$(\nabla f-v{)}_i=const,i=1,2,3$$
   所以有
   $$\nabla f-v=const$$
   对等式两边取旋度得到
   $$\nabla \cdot (\nabla f-v)=0$$
   从而得到
   $$\Delta f(x,y)=\nabla \cdot v(x,y)=div(v(x,y)),\forall (x,y)\in \Omega ,withf{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }=f^{\ast }{|}_{\mathcal{R}\setminus \Omega }$$
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