RSA算法原理

参考的网络资源如下：

https://blog.csdn.net/linuxandroidwince/article/details/81141815

http://bank.hexun.com/2009-06-24/118958531.html

https://baike.baidu.com/item/RSA%E7%AE%97%E6%B3%95/263310?fr=aladdin

算法发明人

Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman.

简介

　 　RSA是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。RSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，这个算法经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性，但这恰恰说明该算法有一定的可信性，目前它已经成为最流行的公开密钥算法。
　　RSA的安全基于大数分解的难度。其公钥和私钥是一对大质数（100到200位十进制数或更大）的函数。从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大质数之积（这是公认的数学难题）。 

RSA的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：

数学知识

这个很重要，所以标题放在前面。

考虑到对整体的理解，或者你数学很好根本不需要，内容放在本文最下方。

算法描述（及说明）

(1）首先任意选择两个不相等的质数p和q 
(2）计算p和q的乘积n，令p=61, q=53，则n = 61×53 = 3233 
3）计算n的欧拉函数φ(n) = (p-1)(q-1)      φ(3233)=60×52=3120 
4）随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质 
在1到3120之间，随机选择了17，e=17。
5）计算e对于φ(n)的模反元素d 
根据前面模反元素公式e^φ(N)=e*e^φ(N-1)≡1mod(N)，这个公式中的N等于这里的φ(n), 令d=e^φ(N-1), 则ed≡1mod(N)，即 
ed ≡ 1 (mod φ(n)) 
这个式子等价于 
ed - 1 = kφ(n) 
于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解 
ex + φ(n)y = 1 
已知 e=17, φ(n)=3120 
17x + 3120y = 1 
这个方程可以用”扩展欧几里得算法”求解，此处省略具体的计算过程，有兴趣可以研究下这个算法，算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。至此所有计算完成。 
6）将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥 
n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）

（7）加密时，先将明文变换成0至n-1的一个整数M。若明文较长，可先分割成适当的组，然后再进行交换。设密文为C，则加密过程为：。
（8）解密过程为：。 

举个栗子

在这篇科普小文章里，不可能对RSA算法的正确性作严格的数学证明，但我们可以通过一个简单的例子来理解RSA的工作原理。为了便于计算。在以下实例中只选取小数值的质数p,q,以及e，假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B，过程如下：
（1）设计公私密钥(e,n)和(d,n)。
令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3与20互质）则e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。
d怎样取值呢？可以用试算的办法来寻找。试算结果见下表：

　　通过试算我们找到，当d=7时，e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。因此，可令d=7。从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥（私钥）为：KR =(d,n)=(7,33)。
（2）英文数字化。
　　将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：

　　则得到分组后的key的明文信息为：11，05，25。
（3）明文加密 
　　用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：

（4）密文解密。
　　用户B收到密文，若将其解密，只需要计算，即：

　　用户B得到明文信息为：11，05，25。根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得到了恢复后的原文“key”。 
　 　你看，它的原理就可以这么简单地解释！
　 　当然，实际运用要比这复杂得多，由于RSA算法的公钥私钥的长度（模长度）要到1024位甚至2048位才能保证安全，因此，p、q、e的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。

安全性说明

首先说明，RSA的安全性没有被证明，是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明。

但也没有证明不通过暴力大树分解还有其他的办法破解。

不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字： 
       p 
　　q 
　　n 
　　φ(n) 
　　e 
　　d 
这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。 
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？ 
（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。 
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。 
（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。 
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。 
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：
 

在RSA密码应用中，公钥KU是被公开的，即e和n的数值可以被第三方窃听者得到。破解RSA密码的问题就是从已知的e和n的数值（n等于pq），想法求出d的数值，这样就可以得到私钥来破解密文。从上文中的公式：d ≡e-1 (mod((p-1)(q-1)))或de≡1 (mod((p-1)(q-1))) 我们可以看出。密码破解的实质问题是：从Pq的数值，去求出(p-1)和(q-1)。换句话说，只要求出p和q的值，我们就能求出d的值而得到私钥。
　 　当p和q是一个大质数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。比如当pq大到1024位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。因此，RSA从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
　　然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。
　　此外，RSA的缺点还有：A)产生密钥很麻烦，受到质数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。因此，使用RSA只能加密少量数据，大量的数据加密还要靠对称密码算法。

数学知识

一、 什么是“质数”？
　　质数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是质数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是质数。另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个质数。质数也称为“素数”

二、什么是“互质数”（或“互质数”）？
　　小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”这里所说的“两个数”是指自然数。
　　判别方法主要有以下几种（不限于此）：
（1）两个质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
（6）大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。
（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。等等。

三、什么是模指数运算？ 
　　指数运算谁都懂，不必说了，先说说模运算。模运算是整数运算，有一个整数m，以n为模做模运算，即m mod n。怎样做呢？让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。例如，10 mod 3=1；26 mod 6=2；28 mod 2 =0等等。 
　　模指数运算就是先做指数运算，取其结果再做模运算。如

四、欧拉函数

何为欧拉函数？ 
在任意的正整数n，请问在小于等于n的正整数中，有多少个与n构成互质关系，计算这个值的方法，就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。 
比如正整数8，φ(8)=？，很快算出有1、3、5、7，所以φ(8)=4

根据前面对质数，互质关系，欧拉函数的介绍，大牛们把欧拉函数又推导出下面几个等式也成立： 
1）如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n=p×q，则有：φ(n)=φ(pq)=φ(p)φ(q); 
2）一个数如果是质数，则小于它的所有正整数与它都是互质数；所以如果一个数p是质数，则有：φ(p)=p-1。 
3）如果n可以分解成两个互质的整数之积n = p1 × p2，则φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2) 
4）如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则 
φ(p^k)=p^k-p^(k-1)=p^k(1-1/p). 
比如： φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4; φ(8) = φ(2^3)=2^3(1-1/2)=4 
5）因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积： 
n=p1^k1p2^k2…pr^kr，根据第三条定律，则φ(n)=φ(p1^k1)φ(p2^k2)…φ(pr^kr) 
再根据第四条定律，则φ(n)=p1^k1p2^k2…pr^kr(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pr)，也就等于 
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pr)，这就是欧拉函数的通用计算公式，举例：1323的欧拉函数，计算过程如下： 
φ(1323)=φ(3^3x7^2)=1323(1-1/3)(1-1/7)=756

五、欧拉定理

欧拉函数的用处，在于欧拉定理。 
如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立： 
a^φ(n)≡1mod(n) 
比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。

六、同余定理

给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

七、扩展欧几里得算法

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然

存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

具体求解方法本人也没有看懂，只是试了一下java的函数可以求出解。有兴趣的可以了解一下具体算法。

八、模反元素定理

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。 
根据欧拉定理有： 
a^φ(n)=axa^φ(n-1)≡1mod(n)，令b=a^φ(n-1)，则ab≡1mod(n)，这里b就是a的模反元素。

比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。