高等数学-导数与微分

1，函数的和、差、积、商的求导法则

（1）$[\mu \pm v{]}^{\prime }={\mu }^{\prime }\pm v^{\prime }$;
（2）$[\mu v{]}^{\prime }={\mu }^{\prime }v+\mu v^{\prime }$;
（3）$[\frac{\mu }{v}{]}^{\prime }=\frac{{\mu }^{\prime }v-\mu v^{\prime }}{v^2}$

2，反函数求导法则

$如果函数x=f(y)在区间I_y内单调、可导且f^{\prime }(y)不等于0，则它的反函数y=f^{-1}(x)在区间I_x=\{x|x=f(y),y\in I_y\}内也可导，且$
$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}或\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$。

一言以蔽之：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

3，莱布尼兹公式

$(\mu v{)}^{(n)}={\mu }^{(n)}v+n{\mu }^{(n-1)}{v}^{\prime }+\frac{n(n-1)}{2!}{\mu }^{(n-2)}{v}^{\prime \prime }+...+\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}{\mu }^{n-k}{v}^{(k)}+...+\mu v^{(n)}$

4，函数的微分

$设函数y=f(x)在某区间内有定义，x_0及x_0+\Delta x在这个区间内，如果增量\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)可表示为\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)，其中A是不依赖于\Delta x的常数，那么称函数y=f(x)在点x_0处是可微的，而A\Delta x叫做函数y=f(x)在点x_0相应于自变量增量\Delta x的微分，记作dy，即dy=A\Delta x$。

$\Delta y=dy+o(dy)，dy是\Delta y的线性主部。$