图论经典算法(通俗易懂）：最短路径和最小生成树

一、最短路问题

求图的最短路问题，几乎是图论的必学内容，而且在算法分析与设计中也会涉及。很多书上内容，实在没法看，我们的图论教材，更是编的非常糟糕，吐槽，为啥要用自己学校编的破教材，不过据说下一届终于要换书了。

言归正传，开始说明最短路问题。

1.问题描述：

对一幅图G，我们对每一条边赋权w(e)，成为一个赋权图。H是G的一个子图，则W(H) = sigma(w(e)),也就是对每条边的权求和。寻找从一个点a到另一个b的一个子图，使得权和最小，即为最短路问题。

2.算法描述：

Dijkstra(迪杰斯特拉算法算法)：

我表示看到后，是懵逼的，接下来详细分析下。

算法图解:

其实就是不断求一个点集合中的每个点，和与他相邻点最短路的最小值。我们还是从实例出发，更容易讲解。我会把上述步骤，拆解为多步。我们求下面这个图从A到L的最短路。

• 第一步：
  令a1 = A(便于标记),t(a1) = 0(表示点a1到a的最短路)，S={a1}(被选择的点的集合)，T = 0(空集 表示被选择的最短路的边集)。
  
• 第二步：
  求与S中的点a1与他相邻的点的距离d，取点a2 = C使得距离最小。令S={a1,a2}，T={AC}。
  
• 第三步：
  重复第二步，求S中的点a1,a2的相邻点中(去除已选择点)，距离最小的那个，则为AB，CE。再取AB，CE中权和最小的一个，B，所以a3=B,令S={a1,a2,a3}，T={AC,AB}。
• …
  持续下去，不断寻找，S集合中的每个点与他相邻点的最小距离，然后再这些最小距离中找到最小的那个加入到S中，同时加入相应的边。
  
  
  直到到达终点L为止。最后得到的最短路为：
  

此算法是多项式时间可求解的，

关于算法的实现可以在参考资料中找到。

二、最小生成树

问题描述

同样在一个连通赋权图中，寻找一颗生成树使得权和最小。
此算法比较简单，很容易理解。

算法描述：

Kruskal算法：

不断寻找最小权的边即可。

比如，寻找下图的最小生成树。

结果如下

参考资料

1.https://blog.csdn.net/u012469987/article/details/51319574
2.https://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3270401.html