基本线性回归、局部加权线性回归和缩减方法（岭回归、前向逐步回归） in Python

1、基本线性回归 LR

基本线性回归，最小化误差的平方和，即求的是具有最小均方误差的无偏误差，从而解得回归系数。

计算预测值序列和真实值的匹配程度，可以计算两个序列的相关系数，corrcoef(yHat.T, yMat)。

from numpy import *

def loadDataSet(fileName):
	numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1
	dataMat = []
	labelMat = []
	fr = open(fileName)
	for line in fr.readlines():
		lineArr = []
		curLine = line.strip().split('\t')
		for ii in range (numFeat):
			lineArr.append(float(curLine[ii]))
		dataMat.append(lineArr)
		labelMat.append(float(curLine[-1]))
	return dataMat, labelMat


### Standard Regression ###
def stdRegres(xArr, yArr):
	xMat = mat(xArr)
	yMat = mat(yArr).T
	xTx = xMat.T * xMat
	if linalg.det(xTx) == 0.0:
		print "This matrix is singular, cannot do inverse"
		return
	ws = xTx.I * (xMat.T * yMat)
	return ws
	
def testing(xArr, yArr, ws):
	xMat = mat(xArr)
	yMat = mat(yArr)
	yHat = xMat * ws
	corr = corrcoef(yHat.T, yMat)
	import matplotlib.pyplot as plt
	fig = plt.figure()
	ax = fig.add_subplot(111)
	ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.T[:,0].flatten().A[0])
	xCopy = xMat.copy()
	xCopy.sort(0)
	yHat = xCopy * ws
	ax.plot(xCopy[:,1], yHat)
	plt.show()
	return corr

2、局部加权线性回归 LWLR

基本线性回归有可能出现欠拟合现象，所以有些方法允许在估计中引入一些偏差（模型预测值与数据之间的差异），从而降低预测的均方误差。

LWLR即是利用了此原理，给待预测点附近的每个点赋予一定的权重（LR则是所有点权重相同），然后在这个子集上（实际这里仍为整个训练数据集）执行LR，最终解出的回归系数为。权重矩阵用来对每个数据点赋予权重。LWLR使用与SVM类似的核来对附近的点赋予更高的权重，最常用的核就是高斯核，高斯核对应的权重矩阵为一对角矩阵，其中为待预测点，参数决定了对附近的点赋予多大的权重，越小，相应更关注附近的点而忽视较远的点。当为1时，基本相当于LR，当很小时，易导致过拟合。

由于LWLR对每个点做预测时都必须使用这个数据集，无疑增加了计算量。但仔细观察，当很小时，可以看到较远的数据点的权重都接近零，从而可以去除这些点参与计算，缓解因计算量增加带来的问题，即方差越小（也说核越大），相当于对应模型的复杂度越低。

### Locally Weighted Linear Regression ###
def lwlr(testPoint, xArr, yArr, k=1.0):
	xMat = mat(xArr)
	yMat = mat(yArr).T
	N = shape(xMat)[0]
	weights = mat(eys(N))
	for ii in range(N):
		diffMat = testPoint - xMat[ii,:]
		weights[ii,ii] = exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))
	xTx = xMat.T * (weights*xMat)
	if linalg.det(xTx) == 0.0:
		print "This matrix is singular, cannot do inverse"
		return
	ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))
	return testPoint * ws

def lwlrTest(testArr, xArr, yArr, k=1.0):
	N = shape(testArr)[0]
	yHat = zeros(N)
	for ii in range(N):
		yHat[ii] = lwlr(testArr[ii], xArr, yArr, k)
	return yHat

def rssError(yArr, yHatArr):
	return ((yArr-yHatArr)**2).sum()

3、缩减方法

当数据的特征数高于样本数，或者特征之间高度相关时，会导致奇异，从而限制了LR和LWLR的应用。这时需要考虑使用缩减法。

缩减法，可以理解为对回归系数的大小施加约束后的LR，也可以看作是对一个模型增加偏差（模型预测值与数据之间的差异）的同时减少方差（模型之间的差异）。

一种缩减法是岭回归（L2），另一种是lasso法（L1），但由于计算复杂，一般用效果差不多但更容易实现的前向逐步回归法。下面针对这两种方法详细介绍。

注意在使用缩减法时，需要对特征作标准化处理，一般对于输入是，对输出是，使得每维特征具有相同的重要性。

3.1 岭回归

岭回归实际上相当于有约束条件情况的最小二乘法回归，即回归系数为。惩罚的引入能够减少不重要的参数，从而更好滴理解数据。参数的选择，需要将原训练数据分成训练数据和测试数据，在训练数据上训练回归系数，然后在测试数据上测试性能，通过选取不同的来重复上述过程，最终选取使得预测误差最小的。

### Ridge Regression ###
def ridgeRegres(xMat, yMat, lam=0.2):
	xTx = xMat.T * xMat
	denom = xTx + lam*eye(shape(xMat)[1])
	if linalg.det(denom) == 0.0:
		print "This matrix is singular, cannot do inverse"
		return
	ws = denom.I * (xMat.T*yMat)
	return ws

def ridgeTest(xArr, yArr):
	xMat = mat(xArr)
	xMeans = mean(xMat, 0)
	xVar = var(xMat, 0)
	xMat = (xMat-xMeans) / xVar
	yMat = mat(yArr).T
	yMean = mean(yMat, 0)
	yMat = yMat - yMean
	numTestPts = 30
	wMat = zeros((numTestPts, shape(xMat)[1]))
	for ii in range(numTestPts):
		ws = ridgeRegres(xMat, yMat, exp(ii-10))
		wMat[ii,:] = ws.T
	return wMat

3.2 前向逐步回归

和岭回归相似的lasso法是利用约束条件，虽然很相似，但在这种约束下解除回归系数，需要二次规划算法，从而大大增加了计算复杂度。前向逐步算法可以得到和lasso法差不多的效果但更加简单，其伪代码如下：

观察每次循环得到的回归系数，有时一段时间后系数就已经饱和并在特定值之间来回震荡，这是由于步长设置的过大。

当构建一个模型后，可以运行该算法找到重要的特征，这样就有可能及时停止对那些不重要特征（非常小，趋于零的回归系数）的收集。

### Front stage-wise Regression ###
def stageWise(xArr, yArr, step=0.01, numIt=100) :
	xMat = mat(xArr)
	xMat = regularize(xMat)
	yMat = mat(yArr).T
	yMean = mean(yMat)
	yMat = yMat - yMean
	N, n = shape(xMat)
	returnMat = zeros((numIt, n))
	ws = zeros((n,1))
	wsTest = ws.copy()
	weMax = ws.copy()
	for ii in range(numIt) :
		print ws.T
		lowestErr = inf
		for jj in range(n) :
			for sign in [-1,1] :
				wsTest = ws.copy()
				wsTest[jj] += step*sign
				yTest = xMat*wsTest
				rssE = rssError(yMat.A, yTest.A)
				if rssE < lowestErr :
					lowestErr = rssE
					wsMax = wsTest
		ws = wsMax.copy()
		returnMat[ii,:] = ws.T
	return returnMat