极限思想之芝诺悖论

芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一组悖论。芝诺是一个很有学问，同时也很好玩的人（淘气）。他如果在中国出生，估计很难大学毕业，只能跟池子一样，高中教室门外面站三年课，然后去讲脱口秀糊口。

 

阿基里斯，大家都知道。古希腊神话中的战神。无论是力量，速度，耐力，格斗技巧，都是巅峰级别的。一夜睡三女，第二天依然可以血染特洛伊的男人。芝诺就提出：在跑步比赛中，如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的阿基里斯，那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。因为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置；而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。如此下去，阿基里斯永远追不上乌龟。即芝诺悖论。

 

之所以称之为悖论，就是因为，我们都知道结果，无论乌龟领先跑了多远，阿基里斯只要有命在，并且在奔跑（速度大于乌龟），就一定会追上乌龟，并超过乌龟。

            然而这里，芝诺讲阿基里斯追不上乌龟，讲的很有逻辑很有道理。这就形成了芝诺悖论。

现如今，我们回头去看芝诺悖论，我们知道，芝诺悖论是存在漏洞的，它的成立缺少条件。加上条件就是：阿基里斯在追上乌龟之前，乌龟永远也不会被阿基里斯追上。（好吧，我承认这是句废话）。可是事实就是如此。

 

结合我们的知识，可以很容易得到，这是一个阿基里斯和乌龟的相遇问题，因为阿基里斯速度比乌龟快，所以在阿基里斯追上乌龟那一时刻以后，阿基里斯都会在乌龟前面。所以乌龟要想不会被阿基里斯追上只能加上一个假设，就是在阿基里斯追上乌龟之前。

 

但是芝诺悖论的无限分割的思想，很开脑洞， 体现了极限的思想。因为乌龟允许领先一段距离，在阿基里斯追逐乌龟的过程中。任一时刻，阿基里斯的位置，都可以看成是阿基里斯追逐乌龟的起点，也是乌龟曾经到达的阶段性终点。按照此情况可以进行无限分割。

这样，阿基里斯奔跑，追赶乌龟的距离，可以被无线分割为n份，每一小段距离，我们认为是Δs，那么阿基里斯奔跑的距离s,可以表示为：

                                          

 

在阿基里斯将要追上乌龟的时刻，无限趋近于零，但是这是的阿基里斯，终究没有追上乌龟。

 

其实，在中国的古代，庄周早有记载。他曾言：一尺之棰，日取其半，万世不竭。

在实际生活中，不用经历万世，有个十天半个月的，你再去分割棰，就已经小的不能再小了，那假如这一万世都无限二分下去，早已经到了人肉眼不可能及的地步了，但是这是，棰确实可以再继续二分，而且可以无限分割下去。

理解了这种无线分割的极限思想，就会明白无限趋近，并不是完全等于。只是在我们生活中，为了活下去，我们不去计较的那么清楚。

所谓的大小，都是相对的概念。大象相对蚂蚁来说，很大很大；但是相对整个银行系来说呢，大象又很小很小。一样的道理。我们的银河系，会不会是别人眼里的大象和蚂蚁呢？也许我们的银河系，在外星人看来，只是他们世界里面的一个质子而已。可是我们知道，质子与质子之间的距离，那是多么遥远啊。

 

所谓的高阶无穷小的概念，说的就是这个参照物的事儿。如果你一时理解不了，那么你索性给他放大一万亿倍，或者更大的倍数，知道你能够感知为止。无论如何放大，a在b面前，永远小的不值一提。因为他们是相除的关系。