沪江网校刘爱洁老师：人称爱姐，首席高中数学资深教师，北京科技大学数学系研究生。所带学生单科成绩可进步20-80分，提倡快乐学习，爱上数学！

你靠什么冲出高考重围？实力？运气？解题技巧？的确，缺一不可。实力是平时日积月累的努力；技巧是你大脑中形成系统的捷径；而运气，则是上天犒赏给奋斗的礼物。

但是，高考的题目中，有80%都是中低档难度，也就是说，要想脱颖而出成为佼佼者，压轴题是无论如何都要攻克的难关！压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。今天，我就来总结一下不等式的证明方法。

一.比较法

所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过

来确定a,b大小关系的方法。

前者为作差法，后者为作商法。但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。

二.分析法和综合

这两个方法我们一般会一起使用，分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题，已知

如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目，当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。

三.反证法

从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。

反证法证明一个命题的思路及步骤：

1）假定命题的结论不成立；

2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;

3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;

4）肯定原来命题的结论是正确的。

四.放缩法

在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。放缩法的目的性强,必须恰到好处,。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。（明天会另附文章详细说明本方法哈，本篇就不详细介绍了呢，敬请期待）

五.数学归纳法

这个方法比较尴尬，容易的题目很好用，难的题目不好用，但是其实可以用。它的基本思路是对于含有n(n∈N)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在n=k(n∈N)时成立的假设下，还能证明不等式在n=k+1时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立。比如下边这个例题，我们可以用数学归纳法，但是重点是放缩和转化求解，这也是难点，所以数学归纳法的尴尬就在这个位置了呢，对于这个方法只能说能用就用，不能用不要勉强。