密度聚类（DBSCAN）

DBSCAN

基本概念与算法原理

有数据集 D={x1, x2, ..., xm} ， 参数 param={ϵ, MinPts}
有如下基本概念：

• ϵ -邻域：数据集 D 中除 xi 外的其他样本与 xi 距离小于 ϵ 的样本集合。记作 Nϵ(xj)={xj∈D|dist(xi,xj)⩽ϵ}.
• 核心对象（Core Object）：若 xj 的 ϵ -邻域中样本数量大于 MinPts ，则样本 xj 为核心对象。记作 |Nϵ(xj)|⩾MinPts.
• 密度直达（Directly Density-Reachable）：若样本 xi 是 xj 的 ϵ -邻域中的样本( xi∈Nϵ(xj) )，则 xi 由 xj 密度直达.
• 密度可达（Density-Reachable）：存在样本序列 P1, P2, , ... , Pn ，其中 P1 的核心对象为 xi ， Pn 的核心对象为 xj ，且 Pi+1 由 Pi 密度直达，则 xi 由 xj 密度可达.
• 密度相连（Density-Connected）： ∃xk∈D ，使 xi 和 xj 均由 xk 密度可达，则 xi 和 xj 密度相连.

图例：

由此，我们可由密度可达关系导出最大密度相连样本集合。
给定参数 param={ϵ, MinPts} ，簇 Cluster⊆D 满足：

• 连接性（Connectivity）： Xi∈C ， xj∈C ： xi 与 xj 密度相连.
• 最大性（Maximality）： xi∈C ， xi 由 xj 密度可达，则 xj∈C .

从选定的核心点出发，不断向密度可达的 ϵ -邻域扩张，得到一个包含核心点和边界点的最大化区域，区域中任意两点密度相连。

算法原理

sklearn有对应的包：

class sklearn.cluster.DBSCAN(eps=0.5,
                             min_samples=5,
                             metric=’euclidean’,
                             metric_params=None,
                             algorithm=’auto’,
                             leaf_size=30,
                             p=None,
                             n_jobs=1)

Reference

Ester M, Kriegel H P, Xu X. A Density-Based Algorithm for Discovering Clusters in Large Spatial Databases with Noise[C]// International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining. AAAI Press, 1996:226-231.