三大数学危机——人类思想的发展史

第一次数学危机——无理数的发现。

以前人们公认所有的数都可以表示成2个整数的比值。

然后有了毕达哥拉斯定理，取最简单的情形，2个直角边为1，那么斜边的长度的平方是2

所以斜边到底是多少呢？

假设斜边长为m/n，m、n都是正整数，m/n是最简分数。

那么m/n*m/n=2，即m*m=n*n*2

那么m是偶数，假设m=2*s，s是正整数

那么2*s*2*s=n*n*2，即n*n=s*s*2

那么n是偶数，假设n=2*t

那么s*s=t*t*2

也就是说，m/n和s/t是相等的。

这就与m/n是最简分数矛盾了。

由此说明，斜边的长度不能表示成2个整数的比值。

由此，历史上第一个无理数就诞生了。

第一个无理数绝不是圆周率pi=3.14159......

因为要证明圆周率是无理数，远比证明根号2是无理数难的多。

除了用微积分，我没见过其他的证明方法，不过应该是有的，没怎么关注。

第二次数学危机——无穷小到底是不是0？

下面的3个悖论都是十分有名的

“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。

类似的，在计算某个曲线问题的时候，用微积分算出来的结果和用经典方法算出来的不一样，然后爆发了第二次数学危机。

后来，柯西等人建立了极限理论，新的微积分建立在了极限的基础之上，也叫第二代微积分。

这才解决了这个危机。

目前最新的是第三代微积分，试图不采用极限，避免极限带来的晦涩，不过还只是在发展中。

第三次数学危机——罗素悖论

理发师悖论：
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

罗素悖论和这个是等价的。

公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。