「学习笔记」数学相关

版块I:数论(Number Theory)

一、同余(Coresidual)

同余大家都会不讲了,证一下除法原则

\(ac \equiv bc \pmod p\),则\(a \equiv b\pmod {\frac{p}{\gcd(c, p)} }\)

证明:\(ac-bc\equiv 0 \pmod p\)

\(c(a - b)\equiv 0 \pmod p\)

\(p \mid c(a - b)\)

\(\frac{p}{\gcd(c, p)} \mid \frac{c}{\gcd(c, p)} (a - b)\)

因为\(\frac{p}{\gcd(c, p)}\)\(\frac{c}{\gcd(c, p)}\) 互质(\(\gcd\)的定义)

所以\(\frac{p}{\gcd(c, p)} \mid (a - b)\)

\(a \equiv b\pmod {\frac{p}{\gcd(c, p)} }\)

二、辗转相除法(Euclidean algorithm)

我们这么写程序:\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)​$

等价于证明:\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a - b)\)

注意到利用公因数小于等于其最大公约数的性质

\(d=\gcd(a, b), d'=\gcd(b, a - b)\)

\(d \mid a, d \mid b\),因此\(d \mid a - b\),所以\(d\leq d'\)

\(d' \mid b, d \mid a - b\),因此\(d \mid a\),所以\(d'\leq d\)

因此\(d=d'\),得证

三、扩展欧几里得算法(Extended Euclidean algorithm)

方程\(ax+by=\gcd(a, b)\)存在一组整数解\(x, y\)

证明:

\(bx + (a \bmod b)y = \gcd(b, a \bmod b)\)有解,进行重组:

\(bx + (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor\times b)y=\gcd(a, b)\)

\(bx + ay - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor\times b \times y=\gcd(a, b)\)

\(ay + b(x - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y) =\gcd(a, b)\)

可以构造出\(ax+by=\gcd(a, b)\)的解

因此可以一直递归,直到某个数为\(0\),这时候显然有整数解,所以原方程也是有整数解的

可以得到简单推论:\(a\)在模\(p\)意义下存在逆元的条件是\(\gcd(a, p)=1\)

四、欧拉函数(Euler Function)

\(1\)\(n\)中与\(n\)互质的数的个数(欧拉函数)\(\varphi(n)=n\prod_{p_i}(1 - \frac{1}{p_i})\)

证明:

每个素因子的倍数与\(n\)不互质,应该减去,但是有些数是多个素因子的倍数,因此需要容斥

\(\varphi(n)=n - \lfloor \frac{n}{p_1} \rfloor - \lfloor \frac{n}{p_2} \rfloor - ... + \lfloor \frac{n}{p_1p_2} \rfloor + ...\)

考虑每个素因子要是选,分母乘以它,这一项变号;不选相当于乘以\(1\)。于是得到上述式子。

证明:与\(n\)互质的数之和为\(\frac{n\varphi(n)}{2}\)

\(\gcd(d, n)=1\),则$\gcd(n, n - d) = 1 $,即互质的数两两出现,且和为 \(n\)

可以证明\(d\not = n - d\),若相等则\(2d=n\),不互质

欧拉定理:若\((a, m)=1,a^{\varphi(m)}=1\pmod m\)

证明:任取缩系\(r_1, r_2, ..., r_{\varphi(m)}\)

\((a, m)=1\),则\(ar_1, ar_2, ..., ar_{\varphi(m)}\)也是一个缩系

\(r_1r_2...r_{\varphi(m)}\equiv ar_1ar_2...ar_{\varphi(m)} \pmod m\)

每个\(r\)\(m\)互质,存在逆元,两边同时约去,得证

特殊情形:\(a^{p-1}=1\pmod p\)

扩展欧拉定理\(a^b=a^{\min(b, b\bmod \varphi(m)+\varphi(m))} \pmod m\)

证明:待更

五、中国剩余定理及拓展(Chinese Remainder Theorem and Its Expansion)

求解线性同余方程组
\[ \begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ \cdots \\ x \equiv a_n \pmod {m_n} \end{cases} \]

1. 若\(m_1, m_2, \cdots, m_n\)两两互质

使用中国剩余定理crt构造。

\(M = \prod m_i, k_i=\frac{M}{m_i}\),记\(k_i^{-1}\)表示\(k_i\)\(\bmod m_i\)意义下的逆元,

方程组的解为:\(x=\sum_{i = 1}^n a_i k_i k_i^{-1}\)

每个\(a_i\)的系数,当不是\(\bmod m_i\)的时候都会是\(0\)(整除),\(\bmod m_i\)的时候为\(1\)(逆元的定义),巧妙构造出解

2. 若\(m_1, m_2, \cdots, m_n\)不一定两两互质

使用拓展中国剩余定理

考虑如何合并方程\(x \equiv a \pmod b,x\equiv c\pmod d\)

\(x=bt + a\)

$bt + a \equiv c\pmod d $

\(bt \equiv c - a \pmod d\)

使用exgcd解出\(t\equiv t_0\pmod {\frac{d}{\gcd(b,d)}}\)

再带回去就能得到\(x\)

于是我们可以通过\(n-1\)次合并解出上述同余方程组

若exgcd时出现无解就意味着同余方程组无解

六、离散对数:BSGS和exBSGS

离散对数:\(a^x\equiv b \pmod p\)

1. \(\gcd(a, p) = 1\)时:BSGS算法

\(m = \lceil \sqrt p \rceil\)

假设\(x\)是解,则\(x\)一定可以表示为\(x = mq + r,q\in[0, m], r \in[0, m - 1]\)(带余除法)

\(a^{mq+r}\equiv b \pmod p\)

\(a^{mq}\equiv ba^{-r} \pmod p\)

我们枚举\(q\)把左边存入hash表,再枚举右边的\(r\),查询有没有对应的\(q\)

注意最好手写hash表,或者unordered_map

复杂度为\(O(\sqrt p \log p)\)

实际中其实可以灵活调整\(m\)的大小优化复杂度

2. 若\(\gcd(a, p)\not = 1\)时候,使用exBSGS算法

\(d = \gcd(p, a)\),等式两边不断同时约去\(d\),直到\(d=1\)

\(a^x\equiv b \pmod p\)

约一次:\(a^{x-1}\frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d} \pmod {\frac{p}{d}}\)

直到\(a,p\)互质以后:\(a^{x-t}\frac{a^t}{\prod d}\equiv \frac{b}{\prod d} \pmod {\frac{p}{\prod d}}\)

把左边\(\frac{a^t}{\prod d}\)移到右边(此时一定存在逆元),使用BSGS求解,然后答案加上\(t\)

注意约的时候要特判,\(d\)不整除\(b\)无解,如果出现左边等于右边,答案就是\(t\)

每次约分\(p\)至少减小一半(\(d\geq 2\)),所以这个过程只是带一个\(\log\)而已

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

namespace Map {
    
const int mod = 76543;
const int N = 1e5 + 10;
int cnt, hd[mod], nxt[N], fir[N], sec[N];
void clr() {
    fill(hd, hd + mod, -1); cnt = 0;
}
void ins(int x, int y) {
    int k = x % mod;
    fir[cnt] = x; sec[cnt] = y; nxt[cnt] = hd[k]; hd[k] = cnt ++; 
}
int find(int x) {
    for(int i = hd[x % mod]; ~ i; i = nxt[i])
        if(fir[i] == x) return sec[i];
    return -1;
}

}

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y, int &g) {
    if(!b) x = 1, y = 0, g = a;
    else exgcd(b, a % b, y, x, g), y -= a / b * x;
}

int qpow(int a, int b, int p) {
    int ans = 1;
    for(; b >= 1; b >>= 1, a = 1ll * a * a % p)
        if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % p;
    return ans;
}

int inv(int a, int p) {
    int x, y, g; exgcd(a, p, x, y, g);
    return g == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}

int logM(int a, int b, int p) { //a^x c = b (mod p), (a, p) = 1
    Map :: clr();
    int m = (int) ceil(sqrt(p + 0.5));
    int aM = qpow(a, m, p), t = 1;
    for(int i = 0; i <= m; i ++) {
        if(-1 == Map :: find(t)) Map :: ins(t, i);
        t = 1ll * t * aM % p;
    }
    int q = b, inv_a = inv(a, p), ans = -1;
    for(int i = 0; i < m; i ++) {
        if(~ (t = Map :: find(q))) {
            int r = t * m + i;
            if(ans == -1 || ans > r) ans = r;
        }
        q = 1ll * q * inv_a % p;
    }
    return ans;
}

int exlogM(int a, int b, int p) { //a^x = b (mod p)
    if(b == 1) return 0;
    int d = gcd(a, p), t = 0, l = 1;
    while(d > 1) {
        if(b % d) return -1;
        b /= d; p /= d; t ++;
        l = 1ll * l * (a / d) % p;
        if(l == b) return t;
        d = gcd(a, p);
    }
    b = 1ll * b * inv(l, p) % p;
    int q = logM(a, b, p);
    return ~ q ? q + t : -1;
}

int main() {
    int x, z, k;
    while(~ scanf("%d%d%d", &x, &z, &k) && x && z && k) {
        int res = exlogM(x % z, k, z);
        if(res == -1) puts("No Solution");
        else printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

七、二次剩余的Cipolla算法

1. 一些定义

二次剩余:若\(x^2\equiv a \pmod p\)有解,则称\(a\)\(p\)二次剩余

感性理解就是\(a\)在模\(p\)意义下可开方。

定义勒让德符号
\[ \left( \frac{a}{p} \right)= \begin{cases} 1, &\text{a是p的二次剩余} \cr -1, &\text{a不是p的二次剩余} \cr 0, &p \mid a \end{cases} \]
注意

这里仅讨论\(p\)奇质数的情况,其他情况过于毒瘤,可以参考miskcoo : 二次剩余及计算方法学习

2. 欧拉判别法

\[ \left( \frac{a}{p} \right)=a^{\frac{p-1}{2}} \]

证明:若\(p\mid a\),显然成立

\(a\)\(p\)的二次剩余,则存在\(x^2\equiv a \pmod p\)

\((x^2)^{\frac{p-1}{2}}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\)

根据费马小定理,\(x^{p-1}\equiv 1\pmod p\)

得到\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \pmod p\)

\(a\)不是\(p\)的二次剩余,则不存在\(x,x^2\equiv a\pmod p\)

则对于每个\(x\in[1, p)\),都能找到对应的\(y\in[1,p),y\not=x\) 满足\(xy=a\)

于是我们可以把\([1, p)\)中的数两两配对,一共\(\frac{p-1}{2}\)对,每对乘积为\(a\)

得到等式\((p-1)!\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\)

根据威尔逊定理,\((p-1)!\equiv -1 \pmod p\)

得到\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \pmod p\)

综上,得证

3. Cipolla 算法

使用该算法求:\(x^2\equiv n\pmod p\)的一个解\(x\)

首先随机出来一个\(a\),满足\((a^2-n)^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \pmod p\)

期望\(2\)次随机出来(\(a^2\)\(n\)二次剩余的时候会再随机一次,即\(a^4\equiv n \pmod p\),这样的\(a\)不超过\(4\)个)

然后为了强行开根,设\(\omega=\sqrt{a^2-n}\)为虚数单位(类比\(i=\sqrt{-1}\)

结论:\(x=(a+\omega)^{\frac{p+1}{2}}\)

证明:
\[ x^2\equiv (a+\omega)^{p+1}\equiv(a+\omega)^p(a+\omega)\equiv(a^p+\omega^p)(a+\omega)\equiv(a-\omega)(a+\omega)\equiv a^2-\omega^2\equiv n \]
上面的证明用到了几个定理

  • \((a+\omega)^p\equiv a^p+\omega^p\):二项式定理展开,除了首尾项,都含有\(p\)因子
  • \(\omega^p\equiv\omega(\omega^2)^{\frac{p-1}{2}} \equiv \omega(a^2-n)^{\frac{p-1}{2}} \equiv-\omega\)

据说根据拉格朗日定理可得最后答案虚部为\(0\),然而不会拉格朗日定理(

然后就做完了。还是放个代码吧(虽然是乱写的)。

namespace cipolla {

const int mo = 1e9 + 9;
int a, t;
struct Node {
    int x, y;
    Node operator * (const Node &b) const {
        return (Node) {
            (int) ((1ll * x * b.x % mo + 1ll * y * b.y % mo * t % mo) % mo),
            (int) ((1ll * x * b.y % mo + 1ll * y * b.x % mo) % mo)
        };
    }
};
int qpow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    for(; b >= 1; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mo)
        if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % mo;
    return ans;
}
Node nqpow(Node a, int b) {
    Node ans = (Node) {1, 0};
    for(; b >= 1; b >>= 1, a = a * a)
        if(b & 1) ans = ans * a;
    return ans;
}
int sqrt(int n) {
    a = 1; srand(time(0));
    while(qpow(((t = (1ll * a * a % mo - n) % mo + mo) % mo), (mo - 1) / 2) != mo - 1)
        a = 1ll * rand() * rand() % mo;
    return nqpow((Node) {a, 1}, (mo + 1) / 2).x;
}

}

八、以原根为基础的同余

1. 一些定义

:若\((a, p) = 1\),满足\(1\leq x < p,a^x\equiv 1 \pmod p\)的最小正整数\(x\)称为\(a\)在模\(p\)的阶,记为\(\text{ord}_p(a)\)

感性理解:阶就是最小几次方变成1。

根据欧拉定理,阶一定存在

原根:若\(g\)在模\(p\)的阶为\(\varphi(p)\),则称\(g\)\(p\)的原根

原根:若\(g\)在模\(p\)的阶为\(\varphi(p)\),则称\(g\)\(p\)的原根

感性理解:原根是一个替代品,因为它的次幂能遍历\(p\)的缩系(证明在后面)

指标:若\(0 \leq x < \varphi(p), g^x\equiv a\pmod p\),称\(x\)为以\(g\)为底模\(p\)的一个指标

我们暂时还用不到指标这个鬼东西

2. 性质

下面为了表述简便,令阶\(x=\text{ord}_{p}(a)\)

性质1:\(a^{u}\equiv a^v\pmod p\)当且仅当\(u\equiv v\pmod x\)

证明:

充分性:显然(我等于我自己)

必要性:设\(u>v\),记录差\(l=u-v\),则\(a^l\equiv1\pmod p\)

\(l=kx+r(0\leq r\(a^{kx+r}\equiv 1(mod p)\)

\((a^{x})^k a^r\equiv 1\pmod p\)

\(a^{r}\equiv 1\pmod p\)

根据\(0\leq r和阶的定义,\(r=0\)

Q.E.D.

性质1的特殊情形:\(a^u\equiv 1\)当前仅当\(k\mid u\)

性质1的推论1:\(a,a^2,...,a^{k}\)两两\(\mod p\)不同余

性质1的推论2:\(x\mid \varphi(p)\)

性质\(2\):只有\(2,4,t^n, 2t^n\)有原根(\(t\)是奇质数)

证明:由于这个证明不在高中数学联赛要求范围内,我们不需要会(雾)

性质3:\(g^t\)遍历\(p\)的缩系。

证明:\(g^t\)\(\varphi(p)\)种取值我们能根据定义得到。

由于\((g,p)=1\),所以\((g^t,p)=1\),这\(\varphi(p)\)种取值恰是缩系。

性质4:若\(p\)有原根,则原根个数为\(\varphi(\varphi(p))\)

证明:找一个任意原根\(g\),那么对于所有的原根\(g'\)

\(g'\)可以表示成\(g^k\bmod p\),其中\(1\leq k\leq \varphi(p)\)

根据上面的性质我们知道:\(\{g,g^2,...,g^{\varphi(p)}\}\)\(p\)的缩系,且\(g^t\)的循环的,以\(\varphi(p)\)为最小正周期。

同时\(g'\)也是原根,则\(\{g',g'^2,...,g'^{\varphi(p)}\}\)也为\(p\)的缩系

代入得到:\(\{g^k,g^{2k},...,g^{\varphi(p)k}\}\)\(p\)的缩系

即让\(\{k, 2k, ..., \varphi(p)k\}\)两两\(\mod \varphi(p)\)不同

也就是让\(\{k, 2k, ..., \varphi(p)k\}\)取遍\(\varphi(p)\)的缩系

假设k是不满足条件的,即存在\(ik=jk\pmod {\varphi(p)}\)

不妨设\(i>j\),则\(\varphi(p)\mid (i-j)k\)

除去gcd以后:\(\frac{\varphi(p)}{\gcd(\varphi(p),i-j)}|k\)

注意到\(i-j\in[1,\varphi(p)-1]\)

\(\frac{\varphi(p)}{\gcd(\varphi(p),i-j)}\)取遍了\(\varphi(p)\)的约数\(d(d>1)\)

因此\(k\)若不满足条件,则\(\gcd(k,\varphi(p))>1\)

反之,\(\gcd=1\)\(k\)一定满足条件

这样的\(k\)\(\varphi(\varphi(p))\)个,对应原根也就有这么多个。

3. 求解原根和阶

求阶:枚举\(\varphi(p)\)的约数暴力检验

求原根:分布挺密集,暴力求

快速判断的方法?试除法!

\(\varphi(p)\)质因数分解得到质因数集合\(\{p_1,p_2,...,p_k\}\)(易知集合大小不超过\(\log\)

\(g\)满足\(\forall i\in[1,k]\)\(g^{\frac{\varphi(p)}{p_i}}\not = 1\),则\(g\)是原根,否则不是。

正确性挺显然的,若\(\text{ord}_p(g)<\varphi(p)\),这样能检验出来。

4. K次剩余方法

用于求满足\(x^k\equiv a\pmod p\)的解,\(p\)是质数

求一个任意原根\(g\),则解\(x\)一定可以表示成\(g^t\bmod p(1\leq t < p)\)

\(a\)也用原根表示:\(a=g^s\bmod p\),这个可以BSGS求出\(s\)

然后\(x^k\equiv a\pmod p\)就变成了\(g^{tk}\equiv g^{s}\)

也就是\(tk\equiv s\pmod {p-1}\)

然后就是simple的同余方程问题,随便求出\(t\)然后快速幂求\(x=g^t\)没了

【还未实现过,留坑】

若要求k次剩余所有解?

【留坑】

zzq:二次剩余、三次剩余、K次剩余

九、常见算法:质数判定与大数因子

updating!

版块II:数论函数

一、狄利克雷卷积(Dirichlet Convolution)

定义狄利克雷卷积:
\[ (f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]

二、积性函数

若满足\((a,b)=1\)\(f(a)f(b)=f(ab)\)的数论函数\(f\)叫做积性函数

性质\(1\):若\(f, g\)为积性,\(f*g\)也为积性

证明:\(a,b\)为任意互质正整数,\((f*g)(a)(f*g)(b)=\sum_{d|a} f(d)g(\frac{a}{d})\sum_{d'|b} f(d')g(\frac{b}{d'})\)

考虑到对于每一对\(d,d'\),都满足\((d,d')=1\),且乘积\(dd'\)取遍\(ab\)不同的约数,

根据\(f(d)g(\frac{a}{d})f(d')g(\frac{b}{d'})=f(d)f(d')g(\frac{b}{d'})g(\frac{a}{d})=f(dd')g(\frac{ab}{dd'})\)

\((f*g)(a)(f*g)(b)=(f*g)(ab)\)

结论1\(\varphi*1=id\)

证明:

先令\(f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)\),证明\(f\)为积性函数

\(n, m\)互质:
\[ f(n)f(m)=\sum_{i|n}\varphi(i)\sum_{j|m}\varphi(j)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\varphi(i)\varphi(j)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\varphi(ij)=\sum_{d|nm}\varphi(d)=f(nm) \]
现在证明\(f(n)=n\),只需证明\(f(p^c)=p^c\)
\[ f(p^c)=\sum_{d|p^c}\varphi(d)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\dots+\varphi(p^c)=1+p-1+p^2-p+\dots p^c-p^{c-1}=p^c \]
得证。

三、线性筛

线性筛的核心思想是一个合数\(x=\prod_{i=1}^kp_i^{c_i}\),在$y=p_i^{c_i-1}\prod_{i=2}^kp_i^{c_i}被筛去

积性函数两种筛法:

  • 考虑\(f(p^c)\)\(f(p^{c+1})\)
  • 考虑找到\(k|i,(k,p)=1\)\(f(ip)=f(k)f(\frac{ip}{k})\)

四、莫比乌斯反演(Mobius Inversion)

第一种形式:(狄利克雷卷积的形式)

\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\Leftrightarrow g(n) = \sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d})\)

第二种形式:(更为常用)

\(f(n)=\sum_{n|d} g(d)\ \Leftrightarrow g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)\)

证明:
\[ f(n)=\sum_{n|d}g(d)=\sum_{n|d}\sum_{d|u}\mu(\frac{u}{d})f(u)=\\ \sum_{n|u}f(u)\sum_{n|d,d|u}\mu(\frac{u}{d})=\sum_{n|u}f(u)\sum_{\frac{d}{n}|\frac{u}{n}}\mu(\frac{\frac{u}{n}}{\frac{d}{n}}) \]
最后一项,只有\(\frac{u}{n}=1\)时为\(1\),其他情况为\(0\),得证。

套路:

  • 枚举最大公约数\(d\)
  • 枚举两个数的乘积\(T\)
  • 转成下取整乘卷积函数g的结构,回答可以\(O(\sqrt n)\),预处理暴力\(O(n\log n)\)\(O(n)\)线筛

五、杜教筛

\(S(n)=\sum_{i=1}^n f(i)\)

若是\(f\)是积性函数,并且你能找到一个函数\(g\),满足\(g(1)\not=0\)\(g\)\(f*g\)(记作函数\(h\))能快速求和,就能使用杜教筛
\[ \sum_{i=1}^n h(i)=\sum_{i=1}^n \sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})=\sum_{d=1}^n g(d)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}f(i)=\sum_{d=1}^n g(d) S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor) \]
把关于\(S(n)\)的一项拿出来,再通过小学数学变形得:
\[ S(n)=\frac{\sum_{i=1}^n h(i)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)}{g(1)} \]
这个直接记忆化求是\(O(n^{\frac{3}{4}})\),用定积分可以求得。如果预处理前\(n^{\frac{2}{3}}\)项,复杂度就是\(O(n^{\frac{2}{3}})\)

版块III:组合(Combinatorial Mathematics)

一、二项式定理

\[ (x+y)^n=\sum_{i=0}^n{n \choose i}x^iy^{n-i} \]

证明用组合意义好证

二、容斥(Inclusion-Exclusion Principle)

两个常用基本式:
\[ |S_1\cup S_2 \cup S_3 ... \cup S_n|=\sum_{i = 1}^n|S_i|-\sum_{1 \leq i < j \leq n} |S_i \cap S_j| + ... \]

\[ |S_1\cap S_2 \cap S_3 ... \cap S_n|=U -|\overline{S_1}\cup\overline{S_2} \cup \overline{S_3} ... \cup\overline{S_n}| \]

版块IV:线性代数

一、矩阵(Matrix)

单位矩阵\(I\)
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ \end{bmatrix} \]

矩阵加法减法:对于两个\(n\times m\)的矩阵,对应元素加减即可

版块V:计算几何(Computing Geometry)

  • 判断向量共线:\(\vec a \cdot \vec b =0\)
  • 判断点\(P\)是否在线段\(AB\)上:\(\vec {AP}\times \vec{BP}=0,\vec {AP}\cdot \vec{BP}<0\)
  • 判断线段严格相交:每条线段两个端点分别在另个线段两侧
  • 判断线段不严格相交:先判严格相交,再判有没有一个端点在另一条线段上的情况
  • 判断多边形凹凸:每\(3\)个相邻点判断叉积是否都为正
  • 判断点在多边形内:叉积判断
  • 求凸包:求出上下凸壳合起来

版块VI:概率期望(Probability and Expectation)

一、离散概率(Discrete Probability)

基本事件(Basic Event):一个仅在样本空间中单个结果的事件,也称样本点

随机事件(Random Events):由某些基本事件构成的集合,用\(E\)表示

样本空间(Sample Space):随机事件\(E\)的所有基本结果组成的集合为\(E\)的样本空间,用\(S\)表示

概率的组合计数求法:如果\(S\)由有限个等概率基本事件组成,那么随机事件\(E\)的概率为\(P(E)=\frac{|E|}{|S|}\)

条件概率\(P(A | B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)

中文表述即:在事件B已经发生的前提下,事件A发生的概率,等于AB同时发生的概率除以B发生的概率。

贝叶斯公式\(P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\)

全概率公式\(P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)\)

上面几个公式理性理解一下都挺对的,没啥好说。

二、期望

\(x\)是离散型随机变量。

期望的定义\(E(x)=\sum_{}V_iP_i\)。意思就是每个可能的值乘以出现的概率再求和。

期望的线性性证明:\(E(x) + E(y) = E(x + y)\)

通过定义可证。

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