遗传算法原理及算法实例

遗传算法原理解析

遗传算法（GA）是一种元启发式自然选择的过程，属于进化算法（EA）大类。遗传算法通常是利用生物启发算子，如变异、交叉和选择来生成高质量的优化和搜索问题的解决方案。

借鉴生物进化理论，遗传算法将问题模拟成一个生物进化过程，通过遗传、交叉、突变、自然选择等操作产生下一代的解，并逐步淘汰适应度函数值低的解，增加适应度函数高的解。这样进化N代后就很有可能会进化出适应度函数值很高的个体。

与遗传算法有关的生物学概念：

（1）染色体（chromosome）
生物是由细胞组成，每一个细胞中都有一套相同的染色体。一条染色体由若干基因(gene) 组成，每个基因控制一种特定的蛋白质，从而决定生物的某种特征。所有染色体合称为基因组(genome)。基因组完全决定了一个生物个体。该个体在微观（基因）层次的表现称为基因型 (genotype)，在宏观（特征）层次的表现称为显型 (phenotype)。在简单的遗传算法中，将基因组中的若干条染色体看作一整条染色体。
（2） 个体复制
在复制的过程中，父母的染色体通过交叉（crossover）产生子女的染色体。染色体还可以以一定的小概率变异（mutate）。

遗传算法本质上是一种搜索算法，搜索算法的共同特征为：

1. 首先组成一组候选解
2. 依据某些适应性条件测算这些候选解的适应度
3. 根据适应度保留某些候选解，放弃其他候选解
4. 对保留的候选解进行某些操作，生成新的候选解

　　
交叉(Crossover)：2条染色体交换部分基因，来构造下一代的2条新的染色体。
交叉前：
00000|011100000000|10000
11100|000001111110|00101
交叉后：
00000|000001111110|10000
11100|011100000000|00101
染色体交叉是以一定的概率发生的，这个概率记为Pc 。
变异(Mutation)：在繁殖过程，新产生的染色体中的基因会以一定的概率出错，称为变异。变异发生的概率记为Pm 。
变异前：
000001110000000010000
变异后：
000001110000100010000
适应度函数 ( Fitness Function )：用于评价某个染色体的适应度，用f(x)表示。有时需要区分染色体的适应度函数与问题的目标函数。例如：0-1背包问题的目标函数是所取得物品价值，但将物品价值作为染色体的适应度函数可能并不一定适合。适应度函数与目标函数是正相关的，可对目标函数作一些变形来得到适应度函数。

遗传算法伪代码

基本遗传算法伪代码
/*
* Pc：交叉发生的概率
* Pm：变异发生的概率
* M：种群规模
* G：终止进化的代数
* Tf：进化产生的任何一个个体的适应度函数超过Tf，则可以终止进化过程
*/
初始化Pm，Pc，M，G，Tf等参数。随机产生第一代种群Pop
 
do
{ 
　　计算种群Pop中每一个体的适应度F(i)。
　　初始化空种群newPop
　　do
　　{
　　　　根据适应度以比例选择算法从种群Pop中选出2个个体
　　　　if ( random ( 0 , 1 ) < Pc )
　　　　{
　　　　　　对2个个体按交叉概率Pc执行交叉操作
　　　　}
　　　　if ( random ( 0 , 1 ) < Pm )
　　　　{
　　　　　　对2个个体按变异概率Pm执行变异操作
　　　　}
将2个新个体加入种群newPop中
} until ( M个子代被创建 )
用newPop取代Pop
}until ( 任何染色体得分超过Tf， 或繁殖代数超过G )

遗传算法优化方法：

（1）精英主义(Elitist Strategy)选择：是基本遗传算法的一种优化。为了防止进化过程中产生的最优解被交叉和变异所破坏，可以将每一代中的最优解原封不动的复制到下一代中。
（2）插入操作：可在3个基本操作的基础上增加一个插入操作。插入操作将染色体中的某个随机的片段移位到另一个随机的位置。

遗传算法实例

这里选用参考3中的实例： 计算函数

的最小值，其中每个变量的取值区间都是[-1, +1]。

首先，确定适应度的函数：

function y = my_fitness(population)
% population是随机数[0,1]矩阵，下面的操作改变范围为[-1,1]
population = 2 * (population - 0.5); 
y = sum(population.^2, 2); % 行的平方和

遗传算法实现：

function [best_fitness, elite, generation, last_generation] = my_ga( ...
    number_of_variables, ...    % 求解问题的参数个数
    fitness_function, ...       % 自定义适应度函数名
    population_size, ...        % 种群规模（每一代个体数目）
    parent_number, ...          % 每一代中保持不变的数目（除了变异）
    mutation_rate, ...          % 变异概率
    maximal_generation, ...     % 最大演化代数
    minimal_cost ...            % 最小目标值（函数值越小，则适应度越高）
)

% 累加概率
% 假设 parent_number = 10
% 分子 parent_number:-1:1 用于生成一个数列
% 分母 sum(parent_number:-1:1) 是一个求和结果（一个数）
% 分子 10     9     8     7     6     5     4     3     2     1
% 分母 10+9+...+1=55
% 相除 0.1818    0.1636    0.1455    0.1273    0.1091    0.0909    0.0727    0.0545    0.0364    0.0182
% 累加(cumsum) 0.1818    0.3455    0.4909    0.6182    0.7273    0.8182    0.8909    0.9455    0.9818    1.0000
% 运算结果可以看出: 累加概率函数是一个从0到1增长得越来越慢的函数
cumulative_probabilities = cumsum((parent_number:-1:1) / sum(parent_number:-1:1)); % 1个长度为parent_number的数列
best_fitness = ones(maximal_generation, 1);% 记录每一代最佳适应度,先初始化为1
elite = zeros(maximal_generation, number_of_variables);% 记录每一代的最优解，初始化为0

% 子女数量=种群数量 - 父母数量（父母即每一代中不发生改变的个体）
child_number = population_size - parent_number; % 每一代子女的数目

% population_size 对应矩阵的行，每一行表示1个个体，行数=个体数（种群数量）
% number_of_variables 对应矩阵的列，列数=参数个数（个体特征由这些参数表示）
population = rand(population_size, number_of_variables);% 初始化种群
last_generation = 0; % 记录跳出循环时的代数

for generation = 1 : maximal_generation % 演化循环开始
    
    % feval把数据带入到一个定义好的函数句柄中计算
    % 把population矩阵带入fitness_function函数计算
    cost = feval(fitness_function, population); % 计算所有个体的适应度（population_size*1的矩阵）

    % index记录排序后每个值原来的行数
    [cost, index] = sort(cost); % 将适应度函数值从小到大排序

    % index(1:parent_number) 
    % 前parent_number个cost较小的个体在种群population中的行数
    % 选出这部分(parent_number个)个体作为父母，其实parent_number对应交叉概率
    population = population(index(1:parent_number), :); % 先保留一部分较优的个体
    % population矩阵是不断变化的
    % cost在经过前面的sort排序后，矩阵已经改变为升序的
    % cost(1)即为本代的最佳适应度
    best_fitness(generation) = cost(1); % 记录本代的最佳适应度

    % population矩阵第一行为本代的最优解（精英）
    elite(generation, :) = population(1, :); % 记录本代的最优解（精英）

    % 若本代的最优解已足够好，则停止演化
    if best_fitness(generation) < minimal_cost; 
        last_generation = generation;
        break; 
    end
    
    % 交叉变异产生新的种群，染色体交叉开始
    for child = 1:2:child_number % 步长为2是因为每一次交叉会产生2个孩子
        
        % cumulative_probabilities 长度为 parent_number
        % 从中随机选择2个父母出来  (child+parent_number)
        mother = find(cumulative_probabilities > rand, 1); % 选择一个较优秀的母亲
        father = find(cumulative_probabilities > rand, 1); % 选择一个较优秀的父亲
        
        % ceil：向上取整
        % rand 生成一个随机数
        % 即随机选择了一列，这一列的值交换
        crossover_point = ceil(rand*number_of_variables); % 随机地确定一个染色体交叉点
        
        % 假如crossover_point=3, number_of_variables=5
        % mask1 = 1     1     1     0     0
        % mask2 = 0     0     0     1     1
        mask1 = [ones(1, crossover_point), zeros(1, number_of_variables - crossover_point)];
        mask2 = not(mask1);
        
        % 获取分开的4段染色体
        mother_1 = mask1 .* population(mother, :); % 母亲染色体的前部分
        mother_2 = mask2 .* population(mother, :); % 母亲染色体的后部分
        
        father_1 = mask1 .* population(father, :); % 父亲染色体的前部分
        father_2 = mask2 .* population(father, :); % 父亲染色体的后部分
        
        % 得到下一代
        population(parent_number + child, :) = mother_1 + father_2; % 一个孩子
        population(parent_number+child+1, :) = mother_2 + father_1; % 另一个孩子
        
    end % 染色体交叉结束
    
    
    % 染色体变异开始，变异种群
    mutation_population = population(2:population_size, :); % 精英不参与变异，从2开始    
    number_of_elements = (population_size - 1) * number_of_variables; % 全部基因数目
    number_of_mutations = ceil(number_of_elements * mutation_rate); % 变异的基因数目（基因总数*变异率）
    
    % rand(1, number_of_mutations) 生成number_of_mutations个随机数(范围0-1)组成的矩阵(1*number_of_mutations)
    % 数乘后，矩阵每个元素表示发生改变的基因的位置（元素在矩阵中的一维坐标）
    mutation_points = ceil(number_of_elements * rand(1, number_of_mutations)); % 确定要变异的基因
    
    % 被选中的基因都被一个随机数替代，完成变异
    mutation_population(mutation_points) = rand(1, number_of_mutations); % 对选中的基因进行变异操作
    population(2:population_size, :) = mutation_population; % 发生变异之后的种群
    % 染色体变异结束
end % 演化循环结束

函数测试：

clc,clear all,close all;

% 调用 my_ga 进行计算
% 求解问题的参数个数         10
% 自定义适应度函数名         my_fitness
% 种群规模                  100
% 每一代中保持不变的数目     50 (即交叉率0.5)
% 变异概率                  0.1 (1/10的个体发生变异)
% 最大演化代数              10000 10000代
% 最小目标值                1.0e-6 个体适应度函数值 < 0.000001结束
[best_fitness, elite, generation, last_generation] = my_ga(10, 'my_fitness', 100, 50, 0.1, 10000, 1.0e-6);

% 输出后10行
disp(last_generation); 
i_begin = last_generation - 9;
disp(best_fitness(i_begin:last_generation,:));
% disp(best_fitness(9990:10000,:));
% disp(elite(9990:10000,:))
% 不要写成这样，因为GA常常在中间就跳出循环了

% 将elite值转化为问题范围内
my_elite = elite(i_begin:last_generation,:);
my_elite = 2 * (my_elite - 0.5);
disp(my_elite);

% 最佳适应度的演化情况
figure
loglog(1:generation, best_fitness(1:generation), 'linewidth',2)
xlabel('Generation','fontsize',15);
ylabel('Best Fitness','fontsize',15);
set(gca,'fontsize',15,'ticklength',get(gca,'ticklength')*2);

% 最优解的演化情况
figure
semilogx(1 : generation, 2 * elite(1 : generation, :) - 1)
xlabel('Generation','fontsize',15);
ylabel('Best Solution','fontsize',15);
set(gca,'fontsize',15,'ticklength',get(gca,'ticklength')*2);

参考：
http://blog.jobbole.com/110913/
http://blog.csdn.net/dazhong159/article/details/7908531

http://blog.sciencenet.cn/blog-3102863-1029280.html

https://github.com/Shuai-Xie/genetic-algorithm

https://github.com/yanshengjia/artificial-intelligence/tree/master/genetic-algorithm-for-functional-maximum-problem/src