机器学习:常用的矩阵向量求导公式

学习机器学习的时候有很多线性代数的知识，其中有一些矩阵向量求导的东西不是很熟悉，今天查了很久决定做一个总结。

 

 

定义1.梯度（Gradient） [标量对列向量微分]

设是一个变量为的标量函数，其中。那么定义对的梯度为:

 定义2. 海森矩阵（Hessian matrix）[海森矩阵是二阶梯度]

设是一个变量为的二阶可微分的标量函数，其中。那么定义对的海森矩阵为:

 海森矩阵是对称阵。

 定义3. 雅可比矩阵（Jacobian matrix）[雅可比矩阵本质上是一阶梯度，向量对向量微分]

设是一个K*1的列向量函数

 其中。那么定义对的雅可比矩阵为:

定义4. [矩阵对标量微分]

的矩阵A的元素是一个向量的元素的函数，定义为：

 

矩阵的二阶微分：

 

因为机器学习（这里指的是有监督的机器学习）的一般套路是给定输入X，选择一个模型f作为决策函数，由f(X)预测出Y'。而得到f的参数θ（往往是向量），需要定义一个loss函数（一般都是实值函数），描述当前f预测值Y'与实际的Y值的接近程度。模型学习的过程就是求使得 loss函数 L(f(X),Y)最小的参数θ。这是一个最优化问题，实际应用中都是用和梯度相关的最优化方法，如梯度下降，共轭梯度，拟牛顿法等等。

其实只要掌握上面这个公式，就能搞定很多问题了。

为了方便推导，下面列出一些机器学习中常用的求导公式，其中andrew ng那一套用矩阵迹的方法还是挺不错的，矩阵的迹也是实值的，而一个实数的迹等于其本身，实际工作中可以将loss函数转化成迹，然后在求导，可能会简化推导的步骤。

 

 证明：二次函数， 其中，矩阵。则对的列向量的微分为:,以的情况举例说明： 

 矩阵微分的应用(看了其他博客内容，留下来回顾)

 

 本文主要参考了https://blog.csdn.net/yc461515457/article/details/49682473

                   http://blog.sina.com.cn/u/2393639721