K-Means 聚类

<机器学习笔记-06>(scikit-learn 06)K-means聚类

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关键词：聚类，K-means，scikit-learn，python

摘要：本文主要介绍聚类、K-means的概念和结果评估，以及使用python进行聚类分析的方法；

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1. 要点总结

   1. 了解无监督学习以及聚类概念；

   2. K-means的实现过程，肘部法则确定超参数K，利用平均畸变程度和轮廓系数评估聚类效果；

2. 基本概念

   1. 聚类（clustering）

      1. 属于无监督学习，可以找出不带标签数据的相似性的算法；

      2. 概念：将更具相似性的样本归为一类（cluster），同组中的样本比其他租的样本更相似；

      3. 应用：市场调查中对用户分组、社交网络识别社区、推荐系统、寻找相似模式的基因组；

   2. K-means聚类算法

      1. 实现过程：

         1. 指定聚类的数量 K
         2. 初始化，指定第 k 个类的重心位置 uk ；（实际中，为避免局部最优解，需要从不同位置开始初始化，取最小成本函数对应的重心位置作为初始化位置）
         3. 遍历每一个元素 xi ，计算该元素到各个类重心 uk 的距离，将该元素划分到距其最近的类；
         4. 计算重新生成类的重心；
         5. 重复3-4，直至各个类的重心位置不再变化（成本函数值的差达到了限定值，或者前后两次迭代的重心位置变化达到了限定值）；

      2. 超参数K：表示类的数量，需要人为指定，K-means不能决定要分几个类；

      3. 肘部法则（elbow method）： 可用于估计聚类数量；把不同K值的成本函数值画出来，找出K值增大过程中，畸变程度下降幅度最大的位置所对应的K值（即为肘部）；

      4. 参数：类的重心位置和其内部观测值的位置；

      5. 成本函数：各个类畸变程度（distortions）之和；每个类的畸变程度等于该类重心与其内部成员位置距离的平方和；最优解以成本函数最小化为目标，其中 uk 是第 k 个类的重心位置；

         J=∑k=1K∑i∈Ck|xi−uk|2

      6. 效果评估-轮廓系数（silhouette Coeffient）：类的密集与分散程度的评价指标；其中 a 是每个类中样本彼此距离的均值， b 是一个类中样本与其最近的那个类的所有样本的距离的均值；

         s=bamax(a,b)

3. Python使用

   1. numpy类

      1. numpy.random.uniform(low,high,(dimension,number))生成随机正态分布数组（dimension行，number列）

         import numpy
         cluster1=numpy.random.uniform(0,10,(3,5)) #0用来指定最小值，10用来指定表示最大值，3用来指定每组数的维度，5用来指定组数；生成结果为3行5列的array
         cluster1
         '''
         array([[ 4.70790848,  2.18489986,  2.03468687,  9.90719494,  8.76117508],
             [ 7.20530626,  6.71587658,  7.75926726,  4.68401906,  6.24912461],
             [ 9.10075334,  8.87222659,  9.72546108,  0.03047577,  8.57698237]])
         '''

      2. numpy.hstack((array1,array2))用来将array1和array2水平拼接起来

         import numpy
         X=numpy.hstack((cluster1,cluster1))
         
         X
         '''
         Out[27]: 
         array([[ 4.70790848,  2.18489986,  2.03468687,  9.90719494,  8.76117508,
               4.70790848,  2.18489986,  2.03468687,  9.90719494,  8.76117508],
             [ 7.20530626,  6.71587658,  7.75926726,  4.68401906,  6.24912461,
               7.20530626,  6.71587658,  7.75926726,  4.68401906,  6.24912461],
             [ 9.10075334,  8.87222659,  9.72546108,  0.03047577,  8.57698237,
               9.10075334,  8.87222659,  9.72546108,  0.03047577,  8.57698237]])
         '''

      3. 将两个一维数组转化为一个二维数组

         import numpy as np
         x1 = np.array([1, 2, 3, 1, 5, 6, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 7, 9])
         x2 = np.array([1, 3, 2, 2, 8, 6, 7, 6, 7, 1, 2, 1, 1, 3])
         X = np.array(list(zip(x1, x2))).reshape(len(x1), 2)
         
         X
         '''
         Out[6]: 
         array([[1, 1],
             [2, 3],
             [3, 2],
             [1, 2],
             [5, 8],
             [6, 6],
             [5, 7],
             [5, 6],
             [6, 7],
             [7, 1],
             [8, 2],
             [9, 1],
             [7, 1],
             [9, 3]])
         '''

   2. sklearn计算聚类

      1. 聚类模型生成

         from sklearn.cluster import KMeans
         kmeans=KMeans(n_clusters=3)
         kmeans.fit(X)

      2. 利用scipy.spatial.distance.cdist计算平均畸变程度

         from scipy.spatial.distance import cdist
         d=cdist(X,Y,'euclidean')#假设X有M个元素，Y有N个元素，最终会生成M行N列的array，用来计算X、Y中每个相对元素之间的欧拉距离
         numpy.min(d,axis=1) #如果d为m行n列，axis=0时会输出每一列的最小值，axis=1会输出每一行最小值
         sum(np.min(cdist(X,kmeans.cluster_centers_,'euclidean'),axis=1))/X.shape[0] #求出平均畸变程度

      3. 计算轮廓系数

         from sklearn import metrics
         metrics.silhouette_score(X,kmeans_model.labels_,metric='euclidean'))

   3. matplotlib库

      1. figsize设置图片大小

         import matplotlib.pyplot as plt
         plt.figure(figsize=(8,10))

      2. 将不同类的元素绘制成不同的颜色和标记

         colors = ['b', 'g', 'r', 'c', 'm', 'y', 'k', 'b'];\
         markers = ['o', 's', 'D', 'v', '^', 'p', '*', '+']
         
         for i,l in enumerate(kmeans_model.labels_):
              plt.plot(x1[i],x2[i],color=colors[l],\
              marker=markers[l],ls='None')

4. Python实例

   1. 聚类和平均畸变程度计算

      1. 生成用来聚类分析的两组数并显示

         import numpy as np
         cluster1=np.random.uniform(0.5,1.5,(2,10))
         cluster2=np.random.uniform(3.5,4.5,(2,10))
         X=np.hstack((cluster1,cluster2)).T
         
         import matplotlib.pyplot as plt 
         plt.figure();\
         plt.axis([0,5,0,5]);\
         plt.grid(True);\
         plt.plot(X[:,0],X[:,1],'k.');

      2. 聚类分析，计算平均畸变程度

         from sklearn.cluster import KMeans
         from scipy.spatial.distance import cdist
         
         K=range(1,10)
         meandistortions=[]
         for k in K:
          kmeans=KMeans(n_clusters=k)
          kmeans.fit(X)
         meandistortions.append(sum(np.min(cdist(X,kmeans.cluster_centers_,'euclidean'),axis=1))/X.shape[0])
         
         plt.plot(K,meandistortions,'bx-');\
         plt.xlabel('K');\
         plt.ylabel('distortion');

   2. 计算轮廓系数

      1. 输入数据整理

         import numpy as np
         x1 = np.array([1, 2, 3, 1, 5, 6, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 7, 9])
         x2 = np.array([1, 3, 2, 2, 8, 6, 7, 6, 7, 1, 2, 1, 1, 3])
         X = np.array(list(zip(x1, x2))).reshape(len(x1), 2)

      2. 显示样本点

         %matplotlib inline
         import matplotlib.pyplot as plt
         plt.figure(figsize=(10,10));\
         plt.subplot(3,2,1);
         plt.xlim([0,10]);\
         plt.ylim([0,10]);\
         plt.title('sample');\
         plt.scatter(x1,x2);\

      3. 计算并输出轮廓系数

         from sklearn.cluster import KMeans
         from sklearn import metrics
         
         colors = ['b', 'g', 'r', 'c', 'm', 'y', 'k', 'b'];\
         markers = ['o', 's', 'D', 'v', '^', 'p', '*', '+']
         
         subplot_counter=1
         for t in tests:
          subplot_counter=subplot_counter+1
          plt.subplot(3,2,subplot_counter)
          kmeans_model=KMeans(n_clusters=t).fit(X)
          for i,l in enumerate(kmeans_model.labels_):
              plt.plot(x1[i],x2[i],color=colors[l],\
              marker=markers[l],ls='None')
              plt.xlim([0,10])
              plt.ylim([0,10])
              plt.title('K=%s, Silhouette Coefficient= %.03f'%(t,metrics.silhouette_score(X,kmeans_model.labels_,metric='euclidean')))

5. 参考文献

   “Mastering Machine Learning With scikit-learn”